Frage von ika136, 37

Gegeben ist eine Funktion mit der Gleichung...?

f(x) = - 3/128 x^4 + 3/4 x^2 - 6

a) Was können Sie über die Symmetrie des Schaubildes und das Verhalten der Funktionswerte für x = - Unendlichkeit und x = Unendlichkeit x sagen?

b) Bestimmen Sie die Hoch- und Tiefpunkte des Schaubildes der Funktion und zeichnen Sie das Schaubild mit Hilfe dieser Punkte.

c) Schreiben Sie die Gleichung der Funktion in der Nullstellenform.

HILFE!

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 14

a) Um die Symmetrie bestimmen zu können, musst Du f(-x) ausrechnen, also in Deine Funktion -x einsetzen. Kommt dann wieder f(x) raus, dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, kommt -f(x) raus, dann ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung, also zu P(0|0); kommt nichts von beidem raus, dann ist die Funktion nicht symmetrisch.

Grenzwerte: Egal, ob Du für x^4 positive oder negative Zahlen eingibst, x^4 bleibt immer positiv. Bei sehr großen Beträgen ist dieser Wert also sehr hoch (im Positiven). Durch das -3/128-tel davor, wird dieses Produkt negativ, d. h. die Funktion kommt aus dem Minus-Unendlichen und wird auch wieder dorthin verschwinden.

b) Ableiten und Null setzen. Sollte bekannt sein!

c) Nullstellen ausrechnen, indem Du substituierst (z=x²). Dann hast Du eine quadratische Gleichung, die Du mit der pq-Formel lösen kannst (oder abc-Formel). Dann re-substiuieren, um die Nullstellen x1 bis x4 zu bestimmen.
Dann erhälst Du als Nullstellenform f(x)=-3/128 * (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)

Kommentar von ika136 ,

"sollte bekannt sein!" JA! aber wenn du kein Basis hast, dein Lehrer so faul ist, dann kannst du ja echt viel machen... -.- danke trotzdem.

Kommentar von Rhenane ,

Da Du es hier mit einer "normalen Potenzfunktion" zu tun hast, bin ich einfach mal davon ausgegangen, dass Du die Ableitung kennst (wollte nicht zuviel von der Aufgabe vorkauen).

Das ist ja die erste "Sorte" von Funktionen die man ableiten lernt. Anfangs mit der h-Methode, bis man dann daraus die Potenzregel erkennt: f(x)=ax^n => f'(x)=an*x^(n-1), d. h. der Faktor vor dem x bleibt erhalten, der Exponent kommt mit nach vorne und der neue Exponent ist um 1 reduziert. Das macht man dann für jeden einzelnen Summanden, also für das x^4 und das x².

Konstante Zahlen (hier die -6) fallen weg. (Du könntest statt -6 (theoretisch) -6x^0 schreiben. Ziehst Du jetzt den Exponenten (die Null) beim Ableiten vor, ergibt das ganze Produkt Null)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen, Mathe, Mathematik, 7

Mag ich noch? 00:51 h
Na, ja, keine Müdigkeit vortäuschen!


f(x) = - 3/128 x^4 + 3/4 x^2 - 6

a) Symmetrie: da gucke ich die Kurve scharf an. Sie hat nur x^4 und x², bevor sie um 6 an der y-Achse hinunterrutscht. Ob ich positive oder negative gleiche x-Werte in x^4 und x² einsetze, bleibt sich gleich. Das Ergebnis ist identisch! Also ist sie achsensysmmetrisch zur y-Achse.

Bei der Unendlichkeit überwiegt x^4 ganz entschieden.
Wenn x oder (-x) ist, dann ist in der 4. Potenz +x^4. Sie bekommt aber aus der Gleichung vorn ein Minus. Daher zeigen beide Äste gegen -∞ .

b) Die 1. Ableitung ist f '(x) = -3/32 (x³ - 16x)
    Wenn ich = 0 setze, interessiert mich der Koeeffizient nicht, also nur
    x³ - 16x       = 0    | ausklammern
    x * (x² - 16) = 0
    Wegen des Nullprodunkts, ist x₁ = 0
    Die anderen beiden ergeben sich aus x² = 16 mit x₂ = 4 und x₃ = -4
    Die dazugehörigen y-Werte hole ich mir aus f(x) und bekomme:
    E₁ (0|-6)        E₂ (4|0)       E₃ (-4|0)
    Damit habe ich überraschend auch gleich zwei Nullstellen bekommen, die
    ich später noch brauche.

c) Die Nullstellenform ist die Form aus Linearfaktoren. Jetzt wird klar, warum
    ihr anders als sonst die Nullstellen zum Schluss ausrechnen solltet.
    Aus der Zeichung siehst du nämlich, dass beide Nullstellen doppelte
    Nullstellen sind. Sie berühren die x-Achse nur.
    Das bedeutet, aus der Nullstelle x = 4 kommt der Linearfaktor (x-4)
    und aus x = -4  kommt Linearfaktor (x + 4).
    Da beide doppelt vorkommen, heißen die beiden Linearfaktoren
    - (x-4)² * (x+4)² = 0             (Minuszeichen wegen Umkehrung)
    und das ist die normierte Nullstellenform der Funktion.

    Du hättest auch die Funktion durch (-3/128) dividieren und dann mit
    einer Substitution x² = z die Nullstellen ausrechnen können. Aber so ist es
    schneller gegangen, und wegen der Reihenfolge in der Aufgabe ist wohl
    auch dieser Rechenweg da oben gemeint gewesen.

Damit sind wir fertig.
Gute Nacht! (01:33 h)


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