Frage von lishuu2016, 51

Gegeben ist ein Kreis mit einem Radius von 12cm. Ihm wird ein Rechteck mit einem Umfang von 60cm einbeschrieben. A=?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 32

Der Umfang des halben Rechtecks ist            a  + b  = 30
Der Durchmesser ist 24 cm                           a² + b² = 24²

Das ist eine Gleichung mit 2 Unbekannten.
Ich empfehle das Einsetzungsverfahren.
Stimmen die Eingaben?
Die Formeln wären OK. Ich habe es mal mit a=3,b=4,r=2,5 durchgerechnet. Das ist auch in Ordnung, aber mit den gegebenen Zahlen klappt es nicht.

Kein Wunder!
Erfahrungsgemäß wäre ein Quadrat das optimale Objekt. Dieses hätte aber eine Diagonale von 21 cm. Der gegebene Durchmesser von 24 ist einfach zu groß. Darf es etwas weniger sein?

Kommentar von ralphdieter ,

Ein Quadrat hat bei gegebener Fläche die kleinste Diagonale. Noch weniger geht nicht.

Mit Deinen Formeln komme ich auf a,b = 15±√63, also circa 7 und 23. Probe: 7²+23²=578 statt 576=24² :-)

Kommentar von Volens ,

Beim Lösen der beiden Gleichungen wird eine Seite ohnehin negativ, was wir in der Geometrie nicht brauchen können. Ich wollte nur nicht diesen rein formalen Schluss zur Begründung heranziehen, weil ich nachts Intuitionist bin.
:-)

Kommentar von ralphdieter ,

7,06 und 22,94 — da wird nix negativ!

Aber was soll's, FataMorgana lässt uns mit seiner Lösung sowieso ziemlich dumm dastehen :(

Kommentar von Volens ,

Keineswegs.
Oh, wie ich es hasse, das coram publico zu tun.

a + b  =   30
ab      = 162        wenn man es ausrechnet

Das führt zu einer positiven und einer negativen Lösung.
Mathematisch ist es in Ordnung, das war mir gestern schon klar, aber geometrisch nicht. Es waren ja dieselben Lösungen, die aus den Ursprungsgleichungen herausgekommen waren.

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Aber es würde mich ja doch interessieren, wo du eine negative Lösung siehst... 

Du hast - wenn du das mit der pq-Formel ausrechnest, zwei Lösungen. Beide sind - im Ergebnis - positiv. Es wird lediglich einmal die Wurzel abgezogen, einmal wird sie addiert, wie das halt so ist bei der pq-Formel. Die Lösungen selber sind aber beide positiv. 

Angenommen, du  hättest beim Gleichungssystem 

a+b = 30

a * b = 162

für a eine negative Lösung heraus. Dann müsste auch b (wegen der zweiten Gleichung) negativ sein. Dann wäre auch die Summe negativ - im Widerspruch zur ersten Gleichung. 

Jenseits aller intuitiven oder geometrischen Überlegungen, es gibt hier keine negativen Lösungen. 

Dass man ansonsten zwei Lösungen hat, ist auch daher klar, weil a und b natürlich austauschbar sind, es ist ja nicht festgelegt, welches z. B. die kürzere ist. 

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Danke. Aber bitte "ihre Lösung". :-)))

Kommentar von Volens ,

Hast recht! Ich war einfach vernagelt. Das kommt dabei heraus, wenn ich einmal auf ein Ergebnis gucke und "negativ" unterstelle, weil Minus vor einer Klammer steht, und nicht sogleich erkenne, dass der Term in der Klammer auch negativ ist. Mir fiel es ein, als ich vorhin im Auto saß.

-3 * (-5 + √7) > 0.

Mit dieser Erkenntnis hätte ich gestern schon richtig gelegen. Denn ich habe die beiden Lösungen ja vor der Nase gehabt.
Tut mir echt leid, dass ich jetzt einen unnötigen Disput entfacht habe. 
Das ist offenbar einer meiner größeren Irrtümer gewesen!
(Es tröstet mich auch nicht, dass andauernd anderswo Irrtümer entdecke. Ich hätte gern, dass mir das nicht unterläuf-!)

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 34

"einbeschrieben" heißt für Rechtecke normalerweise, dass alle 4 Ecken auf der umgebenden Kurve liegen.

Aus Symmetriegründen müssen natürlich die Mittelpunkte von Kreis und Rechteck zusammenfallen.

Jetzt schau dir eine Diagonale des Rechtecks an - welche Art von besonderer Linie ist sie für den Kreis? Wie hängt die Länge einer solchen Linie im Kreis mit dem Radius zusammen?

Dann Satz des Pythagoras für Seiten und Diagonale und Gleichung für Umfang nach den Seiten auflösen.

(Test: aus Symmetriegründen müssen die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung austauschbar sein)

Antwort
von FataMorgana2010, 26

Hübsche Aufgabe, weil sie einen verleitet, einen Umweg zu nehmen. 

Gefragt ist ja nach A, dem Flächeninhalt. Der berechnet sich als A = ab. 

Wir haben zwei Gleichungen, nämlich

a + b = 30 

a² + b² = 24². 

Nun könnte man natürlich a  und b ausrechnen, dann multiplizieren. 

Wenn man sich aber an die erste binomische Formel erinnert (da kommt doch so ein ab vor ...), dann quadriert man einfach die erste Gleichung: 

(a + b)² = 30²

und wendet die binomische Formel an: 

a² + 2ab + b² = 30²

Jetzt zieht man die zweite Gleichung ab: 

a² + 2ab + b² -(a² +b²) = 30² -24²

Freundlicherweise heben sich die Quadrate weg: 

2ab = 30² - 24²

A = (30² - 24²)/2

Ich weiß jetzt zwar nicht, wie groß a und b sind, aber ich kenne den gesuchten Flächeninhalt. 

Kommentar von Volens ,

Daraus resultiert
a + b   =   30
   ab    = 162

Also weiß man ganz genau, wie lang a und b sind.
Wenn man es ausrechnet, ist man allerdings ein bisschen überrascht, - bzw. man vielleicht, aber nicht jeder.

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Genau - wenn man es ausrechnet, dann würde man es wissen. Da die Aufgabe aber nur nach dem Flächeninhalt fragt, muss man es gar nicht ausrechnen. Und dann muss man sich auch nicht über krumme Ergebnisse wundern... 

Kommentar von ralphdieter ,

Wenn man das ausrechnet, erhält man genau zwei Lösungen für (a; b): näherungsweise (7; 23) und (23; 7).

Überrascht bin ich nur von FataMorganas Genialität: "Gegeben ab=162, wie groß ist die Fläche?" — Antwort: 162 :-P

Antwort
von Maimaier, 30

Rechteck hat Seitenlängen a und b, Diagonale c.

a+b = 60/2 cm

c = 2*12 cm

Satz von Pythagoras...

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