Gegeben ist die Funktion f mit f (x)=2x^3-5x Bestimme die Anzahl der lokalen Extremstellen?

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3 Antworten

Du bildest erst mal die Ableitungen bis zur 3-ten Ableitung -->

f(x) = 2 * x ^ 3 - 5 * x

f´(x) = 6 * x ^ 2 - 5

f´´(x) = 12 * x

f´´´(x) = 12

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Nun bestimmst du die Nullstellen der 1-ten Ableitung f´(x)

6 * x ^ 2 - 5 = 0 | +5

6 * x ^ 2 = 5 | : 6

x ^ 2 = 5 / 6 | √(...)

x _ 1 = - √(5 / 6) ≈ -0.912871

x _ 2 = + √(5 / 6) ≈ +0.912871

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Nun setzt du die Nullstellen der 1-ten Ableitung in die Originalfunktion f(x) ein.

f(x) = 2 * x ^ 3 - 5 * x

f(-0.912871) ≈ 3.0429

f(0.912871) ≈ -3.0429

Nun weist du, dass die Punkte

(-0.912871 | 3.0429)

und

(0.912871 | -3.0429)

Extrempunkte sein können, ob sie das auch wirklich sind, das weißt du damit noch nicht !

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Nun setzt du die Nullstellen der 1-ten Ableitung in die 2-te Ableitung ein.

f´´(x) = 12 * x

f´´(-0.912871 -10.9545

Da f´´(-0.912871) < 0 ist, deshalb ist an der Stelle x  -0.912871 ein Maximum.

f´´(0.912871 10.9545

Da f´´(-0.912871) > 0 ist, deshalb ist an der Stelle x 0.912871 ein Minimum.

Anmerkung -->

Wäre f´´(-0.912871) = 0 gewesen und gleichzeitig f´´´(-0.912871) ≠ 0, was hier ja der Fall ist, dann wäre an der Stelle x  -0.912871 ein Sattelpunkt gewesen, der kein Extremwertpunkt ist. Dasselbe hätte auch für f´´(0.912871) = 0 und so weiter gegolten.

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Zusammenfassung -->

Es gibt 2 Extremstellen / Extremwertpunkte.

Maxium (Hochpunkt) im Punkt (-0.912871 | 3.0429)

Minimum (Tiefpunkt) im Punkt (0.912871 | -3.0429)

Die Zahlenwerte wurden gerundet.

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Zudrst gilt es die Funktion abzuleiten, also die erste und zweite Ableitung zu berechnen. 

Dann ermittelst du erstmal die Anzahl der Nullstellen der ersten Ableitung, damit erhälst du dann alle möglichen Extremstellen der Funktion. Es gilt anschließend noch zu überprüfen ob die zweite Ableitung an den jeweiligen ermittelten Stellen ungleich 0 ist. Damit hast du dann alle Extrema der Funktion bestimmt.

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Bei einer ganzrationalen Funktion 3. Grades kann es maximal 2 lokale Extremstellen geben. Um ihre konkrete Anzahl zu bestimmen musst du sie wohl ausrechnen, zumindest fällt mir gerade kein anderer Weg ein.

Dazu musst du die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen, das sind nämlich die lokalen Extremstellen der Funktion.

f(x) = 2x^3 -5x
f'(x) = 6x^2 -5

6x^2 -5 = 0
x^2 -5/6 = 0
x^2 = 5/6
x = ±√(5/6)

⇒ zwei lokale Extremstellen

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Kommentar von NMirR
21.02.2016, 16:59

und wo ist der Nachweis^^

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