Frage von L8u7476, 37

Gaußverfahren 2 Lösungen?

Unzwar habe ich 3 Gleichungen....In der ich z, x, und y ausrechnen muss. Ich habe die Aufgabe 2 mal gemacht und habe bei beiden etwas unterschiedliches raus. Aber bei der Probe gehen beide auf....Ist beides jetzt richtig?

Antwort
von PeterKremsner, 14

Es kann sein dass es Richtig ist, für ein lineares Gleichungssystem gibt es immer 3 Fälle wie es enden kann, entweder es gibt gar keine Lösung, unendlich viele Lösungen, oder exakt eine Lösung.

Ob das Gleichungssystem eindeutig Lösbar ist zeigt dir die Determinante der Koeffizienten Matrix, wenn diese 0 ist gibt es entweder keine oder unendlich viele Lösungen, wenn die ungleich 0 ist gibt es exakt eine Lösung. Das folgt aus der Invertierbarkeit der Matrix.

Wenn es gar keine Lösung gibt kannst du das an einer unmöglichen Gleichung erkenne, also wenn zB eine Gleichung zum Schluss zu 3 = 0 wird.

Das sieht dann in Matrixschreibweise (erweiterte Koeffizientenmatrix) zB so aus:

1 0 0 2

0 1 0 3

0 0 0 3

Unendlich viele Lösungen gibt es wenn im Gaußverfahren eine Zeile der Matrix komplett wegfällt.

Also wenn da zB so etwas steht:

1 0 0 2

0 1 0 3

0 0 0 0

Im Prinzip bekommst du dann zB ein x welches von z abhängt und ein y welches von z abhängt. Die möglichen Lösungen sind jetzt alle Punkte der Gerade die durch x(z) und y(z) beschrieben wird.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 19

Möglicherweise hat du bei der Probe einen Fehler wiederholt, den du auch schon bei der Aufstellung der Gleichungen gemacht hast.
Am besten prrüft man die Zeilen mit Wolfram, z.B.

12x + 17y - 3z where x=4,y=-1,z=7             deine Lösungen x. y, z eingesetzt

Nur wenn dann die Zahl, die rechts stehen soll, herauskommt, stimmt die Zeile.
Alle Zeilen müssen selbstverständlich stimmen!

Kommentar von L8u7476 ,

Hat es ja auch....bei beiden Lösungen kam das ergebnis raus was rechts stand

Kommentar von Volens ,

Dann müsstest du die 3 Zeilen wirklich mal hier eintippen.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 5

Es gibt 3 Fälle für die Lösbarkeit eines "linearen Gleichungssystems" (LGS)

1. Normalfall : genau so viele Unbekannte wie Gleichungen

- eindeutig lösbar (nur 1 Lösung)

2. Fall es gibt mehr Variablen als Gleichungen

- unendlich viele Lösungen (man kann 1 variable oder mehrere frei wählen)

3. Fall Widerspruch

- unlösbar (mindestens 1 Gleichung gibt keinen Sinn ,ist Unsinn)

TIPP : besorge dir einen Graphikrechner (Casio) ,wie ich einen habe.Da brauchst du nur die Koeffizienten eingeben und 0,5 Sekunden ist das Ergebnis da.Casio hat glaub ich die beste Qualität.Herstelleradressen findest du im Internet,wenn du im Suchfeld Graphikrechner/programmierbarer Taschenrechner eingibst.

Mit den Ergebnis,kannst du dann jeden deiner Rechenschritte überprüfen,ob ein Fehler vorliegt.

Antwort
von iokii, 13

Bei 3 Gleichungen mit 3 Variablen passiert es öfters mal, dass es unendlich viele Lösungen gibt.

Kommentar von L8u7476 ,

Das heißt in einer Arbeit würde es dann auch volle Punktzahl geben wenn man eine von mehreren Lösungen hat?

Kommentar von iokii ,

Vermutlich nicht. Kommt aber auf die Aufgabenstellung an.

Kommentar von Volens ,

Sehr unwahrscheinlich, weil sich dann doch irgendwo ein Fehlerlein eingeschlichen hat. Keine oder unendlich viele Lösungen haben ja bestimmte Konstellationen zur Voraussetzung, die beim Ausrechnen auch auftauchen.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 16

kann eigentlich nicht sein; kommt drauf an, wo du das als Probe eingesetzt hast; ohne die Aufgabe zu kennen, schwer zu beurteilen.

Antwort
von HamiltonJR, 23

wenn es mehrere Lösungen gibt, müsste eigentlich mindestens eine Nullzeile beim Gaußverfahren entstehen


Kommentar von L8u7476 ,

Aber was meinst du mit nullzeile

Kommentar von HamiltonJR ,

na dann stehen z.B. am Ende in der letzten Zeile nur 0en.. das würde bedeuten, dass eine Variable frei wählbar ist

Kommentar von PeterKremsner ,

Im Endeffekt läuft es auf unendlich viele Lösungen heraus.

Das passiert wenn eine Gleichung von den anderen Linear Abhängig ist, das kannst du Prüfen wenn du die Determinante der Koeffizienten Matrix bildest, wenn die 0 ist, hast du entweder gar keine oder unendlich viele Lösungen.

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