Frage von leoquestiongoon, 62

Gausscher Satz differenzierte form?

Ich verstehe den gausscher Satz in differenzierte Form nicht.

Naba D = Volumen ladungsdichte.

Als Beispiel betrachte ich die Oberfläche einer kugel, in deren Mittelpunkt die punktLadung q sitzt.

An jedem beliebigen Punkt der Kugel Oberfläche ist die volumenladungsdicjte Null, wohl aber nimmt naba D einen Wert verschieden von Null an.

Antwort
von YanMeitner, 37

Nabla D ist ja nix weiter als die Divergenz, also Quellstärke des E-Feldes. Da platt gesagt auf jedem Punkt der Kugeloberfläche genauso viel E-Feld hereinströmt, wie herausströmt ist Nabla D dort null. Nur an den Stellen, wo die Ladung sitzt ist Nabla D verschieden von null.

Kommentar von Ahzmandius ,

Wo soll da denn was hereinströmen? Die Quelle, die Punktladung sitzt in der Mitte -> Aus der Kugel strömt immer nur etwas raus und nichts hineinen.

Wäre die Divergenz überall auf der Kugeloberfläche null, wäre in der Kugel keine Nettoladung enthalten.

Kommentar von YanMeitner ,

Nein ist es nicht. Also. Betrachtet wird eine Kugel, IN DEREN MITTE eine Punktladung sitzt. Die Elektrischen Feldlinien strömen von der Punktladung in die Schale der drumherum gebauten Kugel und, da diese nicht geladen ist, wieder heraus. Die Divergenz auf der Kugelschale ist null.

Kommentar von Ahzmandius ,

Ich glaube ich weiß was du meinst, denke ich mal, allerdings verstehe ich nicht was das helfen soll, hat mit der eigentlich Problematik nichts zu tun.

Das d Feld einer Punkladung ist D=(Q/4*pi*r^2)*er

divD = er(d/dr)*D (die etheta und ephi lasse ich mal heraus, da ja bekannterweise er*etheta bzw. er*ephi = 0 ist)

er*er=1

divD=dD/dr = (-Q/2*pi^*r^3)

Daraus folgt divD ist nicht null.

Kommentar von YanMeitner ,

Also entweder hast du ein grundsätzlich anderes Problem vor Augen oder irgendwas stimmt mit deiner Divergenzdefinition nicht ;) Also die Formel für die Divergenz kommt mir in spanisch vor... Wäre die Divergenz auf der Kugeloberfläche ungleich null, so würde ja auf der Kugeloberfläche eine Ladung sitzen. Wie gesagt, Quelldichte ist überall null, wo keine Ladung sitzt.

Aber ich glaube, unser Disput hilft dem Fragesteller nicht weiter. XD

Kommentar von Ahzmandius ,

Ich habe mich wohl etwas verrannt, muss ich gestehen:

div in Kugelkoordinaten ist natürlich anders formuliert:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten#Transformation_des_Nabla-Operator...

sodass divD tatsächlich null ist.

Upps :-)

Kommentar von YanMeitner ,

Kein Problem. Ich war zwischenzeitlich auch ziemlich verwirrt muss ich sagen. Danke! :)

Antwort
von Ahzmandius, 26

Gauß stellte einen Zusammenhang her:

Integral(E*da)=Q/eo bzw. Integral(D*da)=Q

Im Prinzip ist die differentielle Form das gleiche, nur wurde hier noch nicht integriert.

Du musst also um von der Differentiellen Form auf die integral Form zu kommen auf beiden Seiten über das ganze Volumen integrieren und beachten, dass p(r)=Q*Delta(r) ist.

Delta(r) ist sog. Delta-Distribution.



Kommentar von Ahzmandius ,

Ps:

divD ist nicht null.

Kommentar von Ahzmandius ,

Doch :-)

Antwort
von Reggid, 38

..wohl aber nimmt naba D einen Wert verschieden von Null an.

nein, tut es (für alle punkte außerhalb des mittelpunkts) nicht.

PS: der operator ∇ heißt nabla-operator.

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