Frage von aibstesp, 47

Gauß-Verfahren Gleichungssystem lösen?

Hi Leute!

ich häng grad fest. Meine drei Zeilen sind momentan wie folgt:

3 2 -3 | 4

0 8 6 | 10

0 -6 9 | -6

Ich brauche nun nur noch die eine Null, um das Gleichungssystem lösen zu können. Ich wollte eigentlich erst die 1. Zeile mal 2 nehmen, sodass ich dann die 1. und die 2. Zeile addieren könnte und eine Null in der 2. Zeile 2. Spalte herausbekommen würde, aber dann habe ich gemerkt, dass dann ja die 0 in der 1. Spalte 2. Zeile nicht mehr da ist... Was kann ich denn jetzt noch machen, um die letzte Null zu bekommen? Egal was ich rumprobiere, bei mir verschwindet dann immer wieder die Null in der 1. Spalte 2. Zeile :(

Danke!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Volens, Community-Experte für Gleichungen & Mathematik, 7

Wenn die Rechnerei mit Zeilenerweiterung und Gleichsetzerei zu unübersichtlich wird, sollte man eine Nebenrechnung auf Papier machen und nur die letzte Matrix wieder hinschreiben:

3   2  -3  |   4    
0   8   6  | 10           *3
0  -6   9  | -6           *4

Wir wollen ja in der zweiten Spalte der letzten Zeile eine 0 stehen haben.
Zu dem Zweck müssen 8 und -6 auf denselben Zahlenwert gebracht werden. Das kann nur 24 sein. Also multipliziere ich die zweite Zeile mit 3 und die dritte mit 4. Ich habe es oben schon hingeschrieben.
Das ergibt:

3   2  -3  |   4            die erste fasse ich nicht mehr an
0  24 18  | 30
0 -24 36 | -24

Die zweite Zeile fasse ich nicht an, addiere aber die zweite und dritte in eine neue dritte Zeile hinein.

3   2  -3  |   4
0  24 18  | 30          /6
0   0  54  |  6           /6

Ich könnte jetzt schon x, y und z ausrechnen, hätte aber (weil es so schön passt) die Zahlen gern etwas kleiner. Also dividiere ich noch durch die Zahlen, die ich dahinter geschrieben habe. (Das kann ich tun, denn die Koeffizienten einer Zeile sind alle proportional zueinander.)

3   2  -3  |   4
0   4   3  |   5
0   0   9  |   1

Das ist die Matrix, die ich jetzt übertragen würde und mit der ich die Lösungen für x, y und z bestimme. Ersichtlich kann man gleich hinschreiben

z = 1/ 9            und dann weiter mit y und x.

So macht man sich mit etwas mehr Schreiberei das Leben leichter und vermeidet die allfälligen Fehler, die immer passieren, wenn man versucht, mehrere Operationen gleichzeitig durchzuführen. Wenn man sich bei der impliziten Rechnerei verdaddelt und muss es nochmal schreiben, dauert es viel länger, - und man wird nervös.  

Kommentar von aibstesp ,

Vielen Dank, sehr schön erklärt! :)

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 11

Hallo,

noch einfacher ist es, die 2. Spalte durch 2 und die dritte durch 3 zu teilen.

Ziehe danach die 3. von der 2. ab und schreibe das Ergebnis als neue 3. Zeile hin:

II 0 4 3 |5

III 0 -2 3|-2 

II-III=0 6 0|7

x2 ist also 7/6, denn 6*7/6=7

Das setzt Du in II ein und bestimmst x3,

danach x2 und x3 in I einsetzen und x1 bestimmen.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von aibstesp ,

Vielen lieben Dank! :)

Antwort
von einfachsoe, 24

2te Zeile mal 6 und 3te Zeile mal 8.
Danach II und III addieren. Die Nullen in der ersten Spalte bleiben und die 2te Spalte der 3ten Zeile verschwindet

Kommentar von aibstesp ,

Oh vielen vielen Dank, das hilft mir sehr weiter! :)

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