Frage von thestorm123, 37

Gauß-Algorithmus: Wann besitzt das System keine Lösung/ mehrere Lösungen oder eine eindeutige Lösung?

Mithilfe von Gauß soll ich das System lösen und entscheiden für welche reellen Werte "b" (Beta) und "y" (Gamma) die Matrix: keine Lösung/ mehrere Lösungen oder eine eindeutige Lösung hat.

Gegeben: Matrix mit: 1. Zeile: {2 1 0 0}=0, 2. Zeile: {1 2 1 0}=0, 3. Zeile: {0 1 2 1}=0, 4. Zeile: {0 0 1 b}=y

Ich habe die Matrix auf die ZSF gebracht: 1. Zeile: {1 0 1 1}=0, 2. Zeile {0 1 -2 -2}=0, 3. Zeile: {0 0 1 3/4), 4. Zeile: {0 0 0 -3/4b}=y. Ich weiß nicht wie ich weiter vorgehen soll. Die Lösungsmenge kann man ja anhand des Rangs ablesen, ich komme aber durch Beta und Gamma durcheinander.

Leider wusste ich nicht wie man die Matrix anders eingeben kann.

Ich wäre über eure Hilfe dankbar.

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe, 23

Ich gehe mal davon aus, dass Deine Umformungen richtig waren :-)

Damit der Rang der Koeffizientenmatrix 4 sein kann, muss b ≠ 0 sein. Und was passiert, wenn b = 0?
Das hängt dann auch vom Wert von y ab. Ist y ≠ 0, führt die letzte Zeile offensichtlich zu einem Widerspruch. (Die Ränge der Koeffizienten- und der erweitern Matrix sind dann auch ungleich.) Also: für b = 0 und y ≠ 0 ist das GS nicht lösbar.

Wenn b = y = 0 hat das GS offenbar unendlich viele Lösungen, denn für die vierte Variable (ich nenne sie mal t) kannst Du jede beliebige Zahl einsetzen, weil 0·t = 0 immer gilt.

In den übrigen Fällen ist die Matrix eindeutig lösbar. Da Du anhand der letzten Gleichung/Zeile t eindeutig bestimmen kannst und damit auch die übrigen Variablen.

War's verständlich?

Kommentar von thestorm123 ,

Danke ich habe das jetzt verstanden.

Als Zusatzaufgabe soll man die allgemeine Lösung bei dem Fall

b = y = 0 (unendlich viele Lösungen)  angeben und auch die eindeutige Lösung berechnen.

Ist die allgemeine Lösung bei b = y = 0 nicht einfach L = R (alle reellen Zahlen) ?

Und wie kann man die eindeutige Lösung berechnen, wenn man für b und y alles einsetzen kann (nur b darf nicht 0 sein) ?  Da kommen doch immer andere Lösungen für x1, x2 etc.

Danke nochmal

Kommentar von KDWalther ,

IL = IR kann schon aus formalen Gründen nicht sein, weil eine Lösung ja aus vier Zahlen (x|y|z|t) besteht.

Eindeutige Lösung: die letzte Gleichung -3/4b·t = y nach t auflösen:
-3/4b·t = y  <=>  t = -4/3 y/b
(hier seht man noch mal, dass b nicht null sein darf).

Diesen Wert für t dann in die zweitletzte Zeile für t einsetzen und nach z auflösen...
Zum Schluss hängen Deine Werte für x, y, z und t alle von (den festen Werten für) beta und gamma ab (verwundert ja auch nicht :-) ).

Ähnlich im Fall beta = gamma = 0. Hier ist wegen 0·t=0 t beliebig.
Aus der vorletzten Zeile 1z + 3/4t = 0 kannst Du z bestimmen...
Hier hängen alle Lösungen für x, y, z vom Wert von t ab.
Das stellst Du dann als Vektor mit t aus IR dar. Macht also unendlich viele Lösungen. Da sie alle von t abhängen (einer Variablen), hast Du eine sog. eindimensionale Lösungsmenge (geometrisch eine Gerade).

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community