Frage von AnonyJS, 60

Gauß Algorithmus, hat diese Aufgabe keine konkrete Lösung?

3x3

( 16 1 10 l 20 ) ( 10 12 -1 l 16 ) ( 3 6 -2 l 10 )

Ich komme hier immer wieder auf andere Lösungen, der Rechner spuckt mir aber konkrete Lösungen aus...

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 21

Hallo,

x=578/31

y=-508/31

z=-812/31

Ich habe es nach dem Gauß-Verfahren berechnet, über Determinanten und zusätzlich den Rechner rödeln lassen. Es kam jedesmal das Gleiche heraus.

Du mußt beim Gauß-Verfahren einen Fehler gemacht haben.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von AnonyJS ,

Hier mein Rechenweg:

Ich wende nun die Matrixschreibweise an und vertausche I und III.

=> (16 1 10 I 20)
(10 12 -1 I 16)
(3 6 -2 I 10)

1.) (II+6)-I

(16 18 5 I 22)
- (16 1 10 I 29)
= (17 -5 I 2)

2.) (III+7)-II

(10 13 5 I 17)
- (10 12 -1 I 16)
= (1 6 I 1)

Daraus ergibt sich:

(16 1 10 I 20)
(0 17 -5 I 2)
(0 1 6 I 1)

3.) (II´-16)-III´

(1 -21 I -14)
- (1 6 I 1)
= (-27 I -15)

Daraus folgt: z=5/2; y=43/153 und x=2167/2448

Komisch ist, das wenn ich in III einsetze 20 herauskommt, sobald ich aber in die anderen Gleichungen einsetze kommt was völlig falsches heraus.

---

Bitte sage mir wo der Fehler ist.

Kommentar von Willy1729 ,

Dein +6 ist falsch. Du hast es hier mit Produkten zu tun.

10x+12y-z=16 ist nicht äquivalent zu 16x+18y+5z=22

Versuch das doch mal mit konkreten Zahlen:

Wir setzen x=y=z=1

10+12-1=21

Wenn Deine Methode richtig wäre, müßte 16+18+5=27 sein, was es aber offensichtlich nicht ist. Hier hätte sich die rechte Seite der Gleichung in Wirklichkeit nicht nur um 6 erhöht, sondern um 6x+6y+6z, also gleich um 18.

In Deinem Fall müßte diese Zeile dann so aussehen:

(10+6)x+(12+6)y-(1+6)z=22+6x+6y+6z und würde Dir nicht helfen.

Du darfst bei solchen Matrizen Zeilen vertauschen, Du darfst sie mit einem Faktor multiplizieren oder durch eine Zahl dividieren; Du kannst die einzelnen Komponente zweier Zeilen addieren oder subtrahieren - aber eine Zahl zu den Komponenten einer Zeile addieren darfst Du nicht.

Willy

Kommentar von AnonyJS ,

Danke, ich werde es nochmal probieren. :-)

Kommentar von Willy1729 ,

Viel Erfolg.

Kleiner Tip:

Zeile II*10

Zeile III*5

Beide danach von Zeile I subtrahieren, dann hast Du in der dritten Spalte in Zeile II und III schon mal zwei Nullen.

Danach Zeile II mal 31 und Zeile III mal (-121)

II und III addieren, dann bleibt in Zeile III ganz links nur noch -155, während in der Ergebnisspalte in Zeile III -2890 steht.

-2890/-155=578/31, die Lösung für x.

Die setzt Du in Zeile II ein und berechnest y, danach x und y in Zeile I, um z zu berechnen.

Viel Erfolg,

Willy

Antwort
von Schachpapa, 31

Dann würde ich eher dem Rechner glauben. Wenn du deinen Lösungsversuch hier postest, könnte man den Fehler suchen. Ansonsten bekommst du nur wieder die Lösung, die dir dein Rechner auch gibt.

Kommentar von Schachpapa ,

Wolfram alpha sagt:


(1 | 0 | 0 | 578/31
0 | 1 | 0 | -508/31
0 | 0 | 1 | -812/31)


rechte Spalte = x,y,z

Sicher, dass du deine Gleichungen richtig abgeschrieben hast?


Kommentar von AnonyJS ,

Hier mein Lösungsweg:

1. II+6-I = (27 -5 l 2 )

2. lll+13-l = (18 1 l 3 )

3. lll´-1-ll´= ( 5 l 0 )

Daraus folgt z=0 und das ist schon falsch.

Kommentar von Schachpapa ,

II+6 -I ???

Das ist ja auch keine erlaubte Umformung. Du kannst Zeilen mit einem Faktor malnehmen und zwei Zeilen addieren oder subtrahieren. Auf alle Zahlen einfach mal +6 addieren geht nicht.

Kommentar von AnonyJS ,

Danke, werde es nochmal probieren! :-)

Kommentar von AnonyJS ,

Oder auch beim letzten Schritt II´-16-III´

= ( -27 l -15)

Beim letzten Schritt kann man auch lll+16-ll nehmen, kommt dasselbe heraus.

Es folgt aber das z=5/9 ist. Führt man das weiter und setzt für lll ein, dann sind die Lösungen korrekt. Bei den anderen kommt jedoch wieder was ganz anderes raus.

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