Ganzrationale Funktion(Grad unbekannt) mithilfe von zwei Punkten (Hochpunkt und Wendepunkt) und der Wendetangente bestimmen?

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3 Antworten

Sei f die gesuchte Funktion.

f ist ganzrationale Funktion => f ist darstellbar mit f(x) = a_0 + a_1 * x + a_2 * x² + .... + a_n * x^n für alle a_k (0=<k=<n) aus den rellen Zahlen und einer natürlichen Zahl n.

f(0) = 0  => a_0 = 0
f'(0)= 1 => a_1 = 1
f''(0) = 0 => a_2 = 0

mehr lässt sich aus den Angaben nicht machen, für den Grad kann man höchstens eine Untergrenze angeben. Aber für jeden höheren Grad gibt es wieder eine Funktion, die diese Bedingungen erfüllt.


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Kommentar von kreisfoermig
11.10.2016, 10:41

1. ∃! lokaler HP viz. bei 2 ⟹ ∃! (absoluter) HP viz. bei 2 ⟹ ƒ ≤ ƒ(2) punktweise überall ⟹ Sup ƒ = ƒ(2).

2. ∄ lokales Minimum ⟹ ∄ absolutes Minimum ⟹ Inf ƒ = -∞

Aus 1+2+ƒ ∈ ℝ[X] erschließt sich, dass ƒ(x) → -∞ für x → -∞ und  x → +∞ ⟹ Grad ƒ nicht ungerade ⟹ Grad ƒ gerade. Aufgrund dessen und aus a₂=0 und a₁≠0 folgt, dass

n=Grad ƒ ∈ {4; 6; 8; …} und a[n]=Leitkoeff. < 0

3. ∃! lokaler HP (bei 2) & ∄ lokales Minimum & ∃! WP viz. bei 0 ⟹ 

ƒ´ > 0 auf (-∞,0)∪(0,2) und ƒ´ < 0 auf (2,∞).

[muss mir das noch überlegen… ich glaube, es ist nicht richtig begründet] Kann man daraus schließen, dass a[k]=0 für k ungerade? Es bedarf eines Argumentes, wäre denkbar…

4. ƒ(2)=4 ⟹

∑a[k]2ᵏ für k von 3 bis ∞
= 4–(a[0]+a[1]·2¹+a[2]·2²)
= 4–(0+1·2¹+0·2²)
= 2

Thus a[k₀] > 0 für mindestens ein k₀≥2. Da a[n] < 0, folgt, dass dies gilt für ein k₀ ∈ {3; … ; n–1}.

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Naja mal sehen, wie viele Bedingungen deine Informationen hergeben:

HP(2;4) liefert:

f(2) = 4

f '(2) = 0

WP(0;0) liefert:

f(0) = 0

f ''(0) = 0

"Wendetangente hat Steigung 1" bedeutet, dass

f '(0) = 1

Eine Funktion 4. Grades wäre also möglich.

f(x) = ax^4 + bx³ + cx² + dx + e

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Kommentar von LenaGrk0308
11.10.2016, 06:54

Vielen Dank!! 

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Kommentar von KDWalther
11.10.2016, 09:01

Sehr schöner Ansatz!

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zeichne mal Funktionen verschiedenen Grades, dann weist du, dass bei einem Wendepunkt in der Regel eine kubische Funktion vorliegt!

y = ax³ + bx² + cx + d

Da bei den Ableitungen d entfällt, kannst du bei den 3 Angaben a, b und c bestimmen!

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Kommentar von UlrichNagel
10.10.2016, 23:47

PS: Da W(0/0) ist d = 0!

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