Frage von manu435, 38

Ganzrationale Funktionen Nullstellen berechnen wie geht das?

Hallo liebe Community!

Wir schreiben in einer Woche eine Mathe Klausur in der es um ganzrationale Funktionen geht... Ich habe heute schon einige Übungen bearbeitet jedoch komme ich bei einer ganz speziellen Aufgabe nicht weiter... Wie soll ich hierbei vorgehen?

f(x) = (2x-1)(x+2)(x+3)

Ich habe erstmal alles ausgeklammert:

f(x) = 2x³+3x²+13x-6

Nun ist mein Problem das ich nicht weiß wie ich das bzw. welche Werte ich in die PQ-Formel packen muss...

Hoffe auf Hilfe!

Danke.

Antwort
von EstherNele, 22

Die pq-Formel gilt für Gleichungen zweiten Grades, da hast du mit deinem "2x³" schon mal schlechte Karten.

Du hast doch die Gleichung in der idealen Form gegeben, um die Nullstellen zu bestimmen.

Ein Produkt ist dann = 0, wenn mindestens ein 
Faktor = 0 ist.

Also setzt du die Klammern, die ja jede für sich einen Faktor darstellen (weil multiplikativ verknüpft) nacheinander =0. 

 f(x) = (2x-1)*(x+2)*(x+3)

Wenn du die jeweiligen x-Werte ausrechnest, bei denen die Terme in den Klammern (= Faktor ) zu Null werden, dann bekommst du alle deine Nullstellen. Es könnte auch sein, dass du für zwei Klammern das gleiche x herausbekommst, das nennt man dann eine Doppelnullstelle.

(2x-1) = 0  ===>  2x = 1  ===>   x = 0,5    das ist deine erste Nullstelle

Jetzt berechnest du noch die anderen beiden, indem du erst (x+2) = Null setzt und x ausrechnest und für (x+3) das gleiche tust

Kommentar von manu435 ,

Das habe ich dann mal verstanden nur wie ist es bei Formeln wie  

-x^5 + 6x³ -9x

? Bitte hilf mir die erste Erklärung war sehr gut!

Kommentar von EstherNele ,

Na gut, dann wollen wir mal dieses Beispiel zusammen durchrechnen.

Ach ja: bitte rechne nicht immer sofort wild drauf los, sondern nimm dir nen Moment Zeit und schau dir die Aufgabe genau an.
Ganz oft siehst du in der Struktur schon den Lösungsansatz, so wie bei der Aufgabe eben.

Mein Mathelehrer hat so etwas "Lösung durch Hingucken genannt.

So und jetzt legen wir mal los.


y = -x^5 + 6x³ -9x    

Was beim ersten Hinschauen auffällt - jeder additive Term enthält eine x-Potenz.
Also versuchen wir mal, x auszuklammern. Und da unsere Funktion aus Summanden besteht, müssen wir, wenn wir ein x "vor die Funktion ziehen " wollen, dieses bei jedem Summanden ausklammern.

y = x* (-x^4 + 6x² -9)   

Jetzt haben wir wieder eine Multiplikation (wie bei der ersten Aufgabe), aber uns stört noch die Klammer, die ist noch ein bisschen unübersichtlich.

Ich würde erst mal noch eine (-1) ausklammern. Damit ändert sich in der Klammer nichts an den Werten, aber alle Vorzeichen werden "gedreht". Du wirst gleich sehen, wozu.

y = x* (-1) *(x^4 - 6x² +9)  

Vielleicht irritiert dich das x^4?      x^4 = x² * x² , ich denke, das weißt du.
Wir ersetzen ersetzen einfach mal das x² durch z.

Damit wird aus x^4 = x²*x² = z*z = z²

y = x* (-1) *(z² - 6z +9)    

So, und jetzt schau dir mal den Klammerterm an.
Da springt dich die 2. Binomische Formel fast schon an, oder nicht? Unsere Klammer ist nichts anderes als das Ergebnis der 2 Binomischen Formel.

z² - 6z + 9 = (z-3)* (z-3)  

Also setzen wir statt der Klammer in der Aufgabe diese beiden Faktoren ein.

 y = x* (-1) *(z² - 6z +9) = (-1)* x* (z-3)*(z-3) 

Und weil in unserer Ausgangsaufgabe ja x gesucht war, tauschen wir unsere z wieder zurück in x² . Der Hintausch war ja bloß eine Hilfe, damit du die Struktur besser klarkriegst.

 y = (-1)* x* (z-3)*(z-3) = -x* (x² -3)*(x²-3)

Und jetzt machst du das, was du auch schon in der ersten Aufgabe gemacht hast - jeden Faktor einzeln = Null setzen.

y = (-1)* x* (z-3)*(z-3) = -x* (x² -3)*(x²-3)

Für  -x = 0 erhältst du x = 0, also unsere erste Nullstelle.

Für x²-3 = 0  erhältst du x² = 3, also x = Wurzel (3) , damit bekommst du zwei Werte : + Wurzel (3) und - Wurzel (3).

Das wären unsere Nullstellen Nr. 2 und Nr. 3.

In einer Gleichung mit Potenzen n-ter Ordnung kann man maximal n verschiedene Nullstellen bekommen. In unserer Aufgabe also 5 wegen x^5.

Wir haben hier nur drei verschiedene - die zweite Klammer (x²-3) braucht man nicht noch mal zu berechnen, da sie ja mit der ersten Klammer identisch ist. Aber ihre Nullstellen werden natürlich mitgezählt.

Also hast du x=0, x= (Wurzel 3) als Doppelnullstelle und
x = - (Wurzel 3) als Doppelnullstelle. 

Und das sind genau deine 5 Nullstellen

(Die Doppelnullstellen natürlich, weil sie einmal bei der ersten Lösung von (x²-3) auftreten und dann bei der zweiten Klammer noch einmal).

Ich hoffe, du konntest meinem Text folgen, sonst schreib einfach nochmal.

Kommentar von manu435 ,

Vielen Dank. Das hat mir sehr geholfen!

Kommentar von manu435 ,

So ich habe da immer noch irgendwie Probleme mit.. ich habe mir Übungen rausgesucht und da war zum Beispiel eine:

x^4-5x²+4 

Die habe ich so aufgelöst:

z²-5z+4 Doch nun weiß ich nicht was ich mit der machen soll....

Kommentar von EstherNele ,

Jetzt kommst du endlich mal dazu, deine pq-Formel einzusetzen ...<Schmunzel>


Für die pq-Formel brauchst du eine Gleichung der Form 

y = x² + px +q,   also ein quadratischer Term (das x²), ein linearer Term (das px) und ein Absolutglied (ohne x).

Deine Gleichung entspricht doch genau der Form!

y = z²-5z+4   nur dass das "z" dem x entspricht.

Also ist z₁ /z₂ = -1/2 * (-5)  ± √ (( -1/2 * (-5)²) - 4)

  z₁ /z₂ = +5/2 ± √ (25/4 - 16/4) =  +5/2 ± √ (9/4) = +5/2 ± 3/2)

 z = 8/2 = 4   und    z₂ = 2/2 = 1

Bis hierhin also alles wie die pq-Formel. Nur müssen wir die Einsetzung von z, die du ja völlig richtig gemacht hast, wieder rückgängig machen.

z = x²      also gilt   z = 4 = x²   ===>  x₁  / x₂  = √ 4 = ± 2

und   z₂ = 1   ===>  x₃ / x₄  = √ 1 = ± 1

Damit hast du insgesamt 4 Nullstellen, was wegen x^4 ja auch sein muss.

Du warst aber schon auf dem richtigen Weg ... Viel Erfolg für deine Klausur

Antwort
von YStoll, 38

Setze die Funktion gleich Null. f(x)=0
(2x-1)(x+2)(x+3)=0
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt dann und nur dann Null, wenn einer der Faktoren 0 ist
==> 2x-1=0 oder x+2=0 oder x+3=0
"Oder" ist hierbei nicht(!) "entweder...oder"
Sprich es können auch mehrere der Bedingungen gleichzeitig wahr sein.

Kommentar von manu435 ,

also brauche ich keine pq-Formel`?

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 26

nicht ausmultiplizieren! nur ablesen

x1 = 1/2

x2= -2

x3= -3

Kommentar von manu435 ,

Wirklich?? Wir hatten das in der Schule ganz anders...

Kommentar von Ellejolka ,

ja, wirklich! :)

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