Frage von lateinchiller, 60

f(x) = x^3 - 4x^2 + 3! Wie kann ich jetzt den Wendepunkt bestimmen?

Der Graph hat ja einen Wendepunkt bei (0|0) und einen bei x gerundet 2,7 (abgelesen vom Funktionsplotter). Wie kann ich jetzt aber genau rechnerisch bestimmen, wo dieser Wendepunkt liegt ?

Vielen Dank.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 12

Die Funktion hat nur einen Wendepunkt, (0 | 0) schneidet sie nicht mal.

Damit ein Wendepunkt vorliegt, muss gelten:

f''(x) = 0
f'''(x) ≠ 0

Nehmen wir nun deine Funktionsgleichung:

f(x) = x³ - 4x² + 3
f'(x) = 3x² - 8x
f''(x) = 6x - 8
f'''(x) = 6

Dass f'''(x) ≠ 0 ist, ist offensichtlich.

Setzen wir nun f''(x) = 0:

0 = 6x - 8 ⇔ x = 8/6 = 4/3

Bei x = 4/3 liegt also ein Wendepunkt.

Für den y-Wert setzt du 4/3 einfach in die Funktionsgleichung ein:

f(4/3) = (4/3)³ - 4*(4/3)² + 3
         = 64/27 - 4*16/9 + 3
         = 64/27 - 64/9 + 3
         = -47/27

Somit liegt der Wendepunkt bei (4/3 | -47/27).

LG Willibergi

Kommentar von lateinchiller ,

Aber wenn ich die Funktion plotten lasse, hat sie zwei Wendepunkte. Ich kann aber deine Rechnung voll und ganz nachvollziehen. Gib bitte mal die Funktionsgleichung hier ein: http://matheplotter.de/

Kommentar von lateinchiller ,

Ungefähr bei (-1,2|6) und bei (1|0)

Kommentar von Willibergi ,

Eine Funktion dritten Grades kann niemals zwei Wendepunkte haben. Das geht nicht.

Überprüfe bitte nochmal, ob du dich nicht vertippt hast, die Funktion sieht defintiv anders aus. ;)

LG Willibergi

Kommentar von lateinchiller ,

Die Funktion sieht aus wie der Buchstabe "N'

Kommentar von lateinchiller ,

Eine Parabel hat doch einen Wendepunkt, oder ? Dann müsste die hier doch 2 Stück haben ?

Kommentar von Willibergi ,

Du verwechselst Wendepunkte und Extrempunkte.

Die Funktion hat zwei Extrempunkte, aber nur einen Wendepunkt.

LG Willibergi

Kommentar von ThenextMeruem ,

Die 3. Ableitung bei einer Parabel ist f'''(x) = 0. Das heißt konkret, dass eine Parabel nie einen Wendepunkt haben kann

Kommentar von lateinchiller ,

Achso. Wir haben Wendepunkt und Extrempunkt in der Schule so noch nicht thematisiert. Ich dachte immer nur für mich selbst, dass halt das ein Wendepunkt sei.

Kommentar von lateinchiller ,

Ich habe es selbst ergoogelt, hat sich erledigt. Also war meine ganze Frage falsch gestellt. Ich wollte dann die ZWEI Extrempunkte wissen.

Kommentar von Willibergi ,

Die bekommst du, indem du f'(x) = 0 setzt.

Für die hinreichende Bedingung muss noch f''(x) ≠ 0 gelten.

Funktioniert aber im Prinzip genauso.

LG Willibergi

Kommentar von lateinchiller ,

Ahh. Danke. Habe nun alles verstanden :D. Top erklärt. Kurz und knackig 😃

Kommentar von Willibergi ,

Gerne doch. ;)

LG Willibergi

Kommentar von lateinchiller ,

Stimmen dann die Extrempunkte so ? f(x) = x^3 - 4x^2 + 3; f'(x) = 3x^2 -8x. -> f'(x) = 0 = 3x^2 -8x. x1 = 0, x2 = 8/3 -> EP1(0|3) EP2(8/3|-175/27)

Kommentar von Willibergi ,

Ja, ist korrekt. :)

LG Willibergi

Kommentar von Willibergi ,

Danke für den Stern! ;)

LG Willibergi

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe,

kubische Funktion f(x)=a3*x^3 + a2*x^2 +a1*x+ao

Bildungsgesetz f(x)= (x - x1) * (x - x2) * (x - x3) * a

MERKE : Eine kubische Funktion kann bis zu 3 "reelle Nullstellen" x1,x2 und x3 haben,muss aber nicht immer sein.

Hat aber immer einen "Wendepunkt".

Rest ,siehe Willibergi !

Antwort
von uncledolan, 8

Der Wendepunkte der Urfunktion ist in der Ableitungsfunktion ein Hochpunkt bzw. Tiefpunkt, weil jeweils an dieser Stelle die Urfunktion die höchste bzw. niedrigste (lokale) Steigung hat. Dementsprechend hat die zweite Ableitung (die Ableitung der Ableitung) an dieser Stelle ihren Nullpunkt. Die notwendige Bedingung ist also f''(x) = 0.

f(x) = x³ - 4x² + 3

f'(x) = 3x² - 8x

f''(x) = 6x - 8 ---> gleich 0 setzen

6x - 8 = 0

6x = 8

x = 8/6 = 4/3

Kommentar von uncledolan ,

Das jetzt noch für x in der Urfunktion einsetzen, um die y-Koordinate zu erhalten:

f(4/3) = (4/3)³ - 4*(4/3)² + 3

f(4/3) = (-47/27)

Antwort
von ThenextMeruem, 7

f''(x) = 6x - 8
0 = 6x - 8 | +8
8 = 6x | :6
4/3 = x

f(4/3) = -1,74

Wendepunkt (-1,74/1,33)

Antwort
von ThenextMeruem, 13

2. Ableitung bilden und 0 setzen.
Den Wert dann in die Ursprungsfunktion einsetzen um f(x) zu bekommen

Kommentar von lateinchiller ,

So ? f'(x) = 3x^2 - 8x; f''(x) = 6x - 8. N(-8|0). f(-8) = - 765. ???

Kommentar von EtechnikerBS ,

Genau richtig.

Und wenn du wirklich gründlich sein willst, noch gucken das die 3. Ableitung ungleich 0 ist. ;)

Kommentar von ThenextMeruem ,

Prinzipiell richtig nur hast du die Nullstelle falsch berechnet, guck mal meine Rechnung an

Kommentar von lateinchiller ,

Hahahahaha, 6x - 8 = 0 konnte ich nicht ausrechnen. Peinlich 😂

Kommentar von lateinchiller ,

Und woher weiß man jetzt, dass die 2. Ableitung gebraucht wird ?

Kommentar von ThenextMeruem ,

Das muss man wissen. Du musst dir merken, dass wenn du die Steigung haben möchtest bzw. den Hoch und Tiefpunkt ausrechnen willst, die erste Ableitung brauchst! Wenn du den Wendepunkt haben möchtest immer die 2. Ableitung! Ist wie Vokabeln lernen

Kommentar von lateinchiller ,

Alles klar. Nur wie ist es, wenn einen Funktion mehrere Wendepunkte hat ? Erhalte ich dann nach Einsetzen der durch die durch 2. Ableitung erhaltenen x-Werte in die Ursprungsfunktion auch mehrere x-Werte ?

Kommentar von Willibergi ,

Ja. Dann ist die Ableitung beispielsweise quadratisch und hat mehrere Lösungen.

LG Willibergi

Kommentar von ThenextMeruem ,

Du erhälst dann beim ausrechnen der Nullstellen von f''(x) mehrere x-Werte, die musst du dann einzeln in f(x) einsetzen. Wenn f''(x) beispielsweise so aussieht "7x²+3x+5" musst du die PQ-Formel anwenden und kriegst so (wie immer) 2 x-Werte raus.

Kommentar von lateinchiller ,

Gut. Das habe ich verstanden. Vielen Dank allen. Unter der Antwort von Willibergi habe ich noch einen anderen Kommentar.

Kommentar von lateinchiller ,

Wie kann ich die zwei Extrempunkte der Funktion berechnen ?

Kommentar von ThenextMeruem ,

Das ist wie schon erwähnt die erste Ableitung. Einfach erste Ableitung gleich 0 setzen und dann die x-werte in die Ursprungsfunktion einsetzen.

Kommentar von lateinchiller ,

Ich habe alles verstanden. Vielen Dank, du hast gut erklärt ! ;)

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