Frage von DesdemoniaBlack, 35

f(x) = c((x^k)/(x-2)) ableiten und Null setzen?

Hallo, c ist hier eine Konstante und k ein veränderbarer Parameter . Ich habe die Ableitung

f '(x) = c(k(x-2)x^(k-1) - x^k)/(x-2)^2

raus.

Aber wenn ich den Zähler des Bruches jetzt null setze, komme ich auf keinen grünen Zweig. Habe schon nachgelesen und gefunden, dass, wenn man richtig vereinfacht, für den Zähler

(k(x-2)-x)x^k-1

Rauskommt, ich kann das aber überhaupt nicht nachvollziehen. Kann mir jemand helfen? Bin total verzweifelt...

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 15

im Zähler kannst Du aus x^k ein x "rausziehen" und erhälst x * x^(k-1).

Jetzt hast Du in beiden Summanden x^(k-1) stehen und kannst dies nun ausklammern.

Kommentar von DesdemoniaBlack ,

Omg danke stimmt!! Das hab ich gar nicht gesehen!

Kommentar von Rhenane ,

Da muss man aber erst einmal drauf kommen, dass man auf diese Weise mit dem Ausklammern von x^(k-1) recht unkompliziert zur Lösung kommt. Dieser Weg springt einem ja nicht gerade ins Auge...

Alternativ wäre ansonsten der Weg, wie ihn nobytree2 beschrieben hat: über den Logarithmus.

Antwort
von nobytree2, 15

c((x^k)/(x-2))

Nach was leitest Du ab? Nach x oder k?

Wenn nach x: c(k(x-2)x^(k-1) -  x^k)/(x-2)^2, wie von Dir richtig erkannt.

Das auf Null = c(k(x-2)x^(k-1) -  x^k) = 0 den Divisior (x-2)^2 brauchen wir für die Nullsetzung nur insoweit, als dass wir definieren x darf nicht 2 sein.

Es gilt wenn a/b = 0 --> a = 0 und b darf nicht 0 sein.

c(k(x-2)x^(k-1) -  x^k) = 0 | geteilt durch c

k*(x-2)x^(k-1) -  x^k = 0

k*(x-2)*x^(k-1) = x^k | ln (log e)

ln(k*(x-2)*x^(k-1)) = ln (x^k)

ln(k) + ln(x-2) + ln(x^(k-1)) = k * ln(x)

ln(k) + ln(x-2) + (k-1)*ln(x) = k * ln(x)

ln(k) + ln (x-2) + k*ln(x) - ln(x) = k * ln(x) | - k * ln(x)

ln(k) + ln(x-2) - ln(x) =0

ln(k*(x-2)/x) = 0 | e^()

k*(x-2)/x= 0 | * x/k

x = 2

Gegebenenfalls habe ich mich verrechnet

Kommentar von nobytree2 ,

x=2, nachdem ich oben x=2 ausgeschlossen habe. Dafür habe ich einen Anti-Stern verdient, ganz ganz schwach von mir ....

Kommentar von Rhenane ,

unten nach |e^() kommt der Fehler: e^0=1 nicht 0.
=> k(x-2)/x=1     |*x   |ausklammern
kx-2k=x              |+2k   |-x
kx-x=2k              |x ausklammern
(k-1)x=2k           |:(k-1)
x=2k/(k-1)

Formst Du aber zu Beginn den Zähler wie in der Fragestellung angegeben um, brauchst Du die ganzen Umformungen mit ln nicht. Aber letztendlich kommt ja das gleiche raus. (1000 Wege führen nach Rom)

Kommentar von DesdemoniaBlack ,

vielen Dank ;) habt mir beide wirklich sehr geholfen ^^

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 14

Aus

k(x-2)x^(k-1) - x^k

x^(k-1)

ausklammern.

Kommentar von DesdemoniaBlack ,

Habe überhaupt nicht verstanden wie man aus x^k x^k-1 ausklammern soll aber klar, hab mal wieder die potenzgesetze außen vor gelassen... Ich Dummkopf

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