Frage von MaVeO1, 41

Funktionsvorschrift soll in Partialbrüche der Form F(x)=A/x+1 +B/(x+1)^2 +C/(x+1)^3 +D/(x+1)4 zerlegt werden...?

Funktionsvorschrift 5x^3+8x2+3x+1/(x+1)^4 soll in Partialbrüche der Form F(x)=A/x+1 +B/(x+1)^2 +C/(x+1)^3 +D/(x+1)4 zerlegt werden... Hinweis: Entwickeln Sie dazu den Zähler der Funktion in Potenzen von (x+1)

Brauch einen Rechenweg bin am verzweifeln. Vielen dank im vorraus

Mit freundlichen grüßen Mave

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 17

Hallo,

(5x³+8x²+3x+1)/(x+1)^4=A/(x+1)+B/(x+1)²+C(x+1)³+D/(x+1)^4

Die rechte Seite der Gleichung bringst Du nun auf den gleichen Nenner wie die linke, nämlich auf (x+1)^4. Dazu multiplizierst Du die einzelnen Terme mit dem, was ihrem eigenen Nenner noch zum Hauptnenner fehlt.

A hat als Nenner (x+1). Um auf (x+1)^4 zu kommen, muß mit (x+1)³ erweitert werden, also A*(x+1)³

Entsprechend erweiterst Du B mit (x+1)² und C mit (x+1). D hat bereits (x+1)^4 als Nenner und muß nicht mehr erweitert werden.

So bekommst Du auf der rechten Seite der Gleichung folgendes:

[A*(x+1)³+B*(x+1)²+C*(x+1)+D]/(x+1)^4

Das soll gleich (5x³+8x²+3x+1)/(x+1)^4 sein.

Da Du nun auf beiden Seiten der Gleichung den gleichen Nenner hast, reicht es, die Zähler gleichzusetzen:

5x³+8x²+3x+1=A*(x+1)³+B*(x+1)²+C*(x+1)+D

Die rechte Seite multiplizierst Du aus:

A*(x³+3x²+3x+1)+B*(x²+2x+1)+Cx+C+D

Ax³+3Ax²+3Ax+A+Bx²+2Bx+B+Cx+D

Nun klammerst Du auf der rechten Seite alles mit x aus:

x³*A+x²*(3A+B)+x*(3A+2B+C)+A+B+C+D

Nun vergleichst Du dies mit der linken Seite, also mit
5x³+8x²+3x+1

x³ kommt rechts nur mit A verbunden vor, folglich muß A=5 sein.

x² ist verbunden mit 3A+B, das heißt, 3A+B muß gleich 8 sein, denn die 8 steht links vor dem x²

Da Du bereits weißt, daß A=5 ist, kannst Du diese Zahl natürlich sofort einsetzen:

3*5+B=8

15+B=8

B=8-15=-7

Bei x steht links eine 3, rechts 3A+2B+C

Also muß 3A+2B+C=3 sein.

Für A setzt Du wieder die 5 ein, für B die -7:

15-14+C=3

C=3-1=2

Bleibt noch A+B+C+D auf der rechten Seite übrig, das muß der Zahl ohne x auf der linken Seite entsprechen, also der 1:

A+B+C+D=1

Die ermittelten Werte für A, B und C einsetzen:

5-7+2+D=1

0+D=1

D=1

Nun kannst Du 5x³+8x²+3x+1 als 
5/(x+1)-7/(x+1)²+2/(x+1)³+1/(x+1)^4 aufschreiben. Beides ist gleich, was Du leicht feststellen kannst, indem Du den zweiten Ausdruck wieder auf den Nenner (x+1)^4 bringst. Dann nämlich kommst Du wieder auf die ursprüngliche Form.

Herzliche Grüße,

Willy


Kommentar von MaVeO1 ,

(Vielen vielen dank)^1000 

Bist der Beste, und danke für die mühe.

mfg mave

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Antwort
von kreisfoermig, 19

Hinweis: stelle den Zähler als Taylor-Reihe um -1 dar. Dann lass dir was einfallen.

Kommentar von Willy1729 ,

Auch nicht schlecht; ich kann mir aber nicht vorstellen, daß der Fragesteller dieses Verfahren kennt - es müßte also genauer erklärt werden. Ich glaube aber fast, daß Dein Verfahren schneller zum Ziel führt. Jedenfalls kam es mir so vor, als ich es durchgerechnet habe.

Willy

Kommentar von kreisfoermig ,

Ja beide Methoden hauen hin. Der Ansatz unten ist, wie du sagtest, viel schneller. Darüber hinaus hat man den Vorteil, genauer die allgemeine Form der Koeffizienten zu bestimmen, ohne verschachtelte Gleichungssysteme auflösen zu müssen.

Kommentar von kreisfoermig ,

Hier der kürzere Ansatz:

Darzustellen ist F = p / (x+1)⁴ = p / (x – -1)⁴, wobei p = 5x³+8x²+3x+1.

SCHRITT 1. Man stelle den Zähler, p, als Taylor-Reihe dar: p = ∑c[n]·(x – -1)ⁿ. Da links ein Polynom 3. Grades steht gilt c[n] = 0 für n≥4. Es gilt außerdem allgemein c[n] = p⁽ⁿ⁾(-1) / n!.

Man berechnet also nur die ersten 3 Ableitungen und zwar im Punkt -1:

n p⁽ⁿ⁾(x) p⁽ⁿ⁾(-1) c[n]=p⁽ⁿ⁾(-1)/n!
============================================
0 5x³+8x²+3x+1 1 1/0! = 1
1 15x²+16x+3 2 2/1! = 2
2 30x+16 -14 -14/2! = -7
3 30 30 30/3! = 5

SCHRITT 2. Die Taylor-Reihe von dem Zähler p ist also:

p(x) = ∑c[n]·(x – -1)ⁿ
= ∑c[n]·(x+1)ⁿ
= 1·(x+1)⁰ + 2·(x+1)¹
+ -7·(x+1)² + 5·(x+1)³

SCHRITT 3. Eingesetzt in F erhält man

F(x) = p(x)/(x+1)⁴
= (1+2(x+1)–7(x+1)²+5(x+1)³) / (x+1)⁴
= 1/(x+1)⁴+2/(x+1)³–7/(x+1)²+5/(x+1)

Die Koeffizienten kannst du jetzt ablesen:

A = 5; B = -7; C = 2; D=1.

Das stimmt mit [Willy1729]’s Lösung überein.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 20

fehlt da ne Klammer?

soll das alles auf den Bruchstrich 5x³+...........

oder nur die 1 ?

Antwort
von MaVeO1, 20

Hier nochmal als Foto... :)

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