Funktionsgrad anhand des Graphen erkennen?

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2 Antworten

Hallo,

ich glaube nicht, daß Du anhand des Funktionsgraphen f(x)=x^24 von g(x)=x^26 unterscheiden kannst.

Du kannst allenfalls am Graphen erkennen, welchen Grad die Funktion mindestens haben muß und ob sie ungerade oder gerade ist.

Auf jeden Fall muß die Funktion um einen Grad höher sein, als sie Maxima, Minima oder Sattelpunkte besitzt, weil dies die Nullstellen der ersten Ableitung sind und die Ableitung höchstens so viele Nullstellen haben kann, wie ihre höchste Potenz ist. Die Funktion, aus der die Ableitung gebildet wurde, die Stammfunktion also, ist um einen Grad höher als ihre Ableitung.

Eine gerade Funktion kann aber über ihren ganzen Verlauf oberhalb oder unterhalb der x-Achse bleiben, ohne diese jemals zu berühren oder zu schneiden. Die Stammfunktion einer solchen Funktion hätte dann überhaupt keine Extrema aufzuweisen.

f'(x)=5x^4+3x^2+1 hat keine Nullstellen, während f(x)=x^5+x^3+x zwar eine Nullstelle und einen Wendepunkt - beide im Ursprung - besitzt, ansonsten aber weder Maxima noch Minima noch Sattelpunkte aufweist. Du siehst dem Ding nicht an, daß es eine Funktion fünften Grades ist. Sicher kannst Du Dir nur sein, daß sie mindestens dritten Grades ist, weil ein Wendepunkt da ist; Polynomfunktionen mit einem niedrigeren Grad als 3(und ich spreche hier ausschließlich von Polynomfunktionen der Art f(x)=a1*x^n+a2*x^(n-1)+..+an*x^0) besitzen keinen Wendepunkt.

Also: Summe der Maxima, Minima und Sattelpunkte plus 1 ergeben den niedrigsten Grad, den die Funktion haben muß, ohne daß Du anhand des Graphen sicher sagen kannst, ob die Funktion noch einen höheren Grad besitzt, es sei denn, Du hast eine entsprechend ergiebige Wertetabelle und kannst mit Hilfe von Taylor-Polynomen oder ähnlichen Verfahren der tatsächlichen Funktion rechnerisch näher kommen als durch bloße Betrachtung des Graphen, aber gerade um diese ging es ja in Deiner Frage.

Du kannst demnach am Funktionsgraphen einer Polynom-Funktion (ganzrationalen Funktion) ablesen, welchen Grades die Funktion mindestens sein muß, kannst aber nicht sehen, ob sie nicht vielleicht auch höheren Grades sein kann.

Herzliche Grüße,

Willy

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Der Funktionsgrad einer Funktion ist abhängig von der höchsten Hochzahl der Funktion. Falls es noch eine zweite (niedrigere) Hochzahl gibt ist diese für das Verhalten nahe 0 verantwortlich.

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Kommentar von TUAKA
28.10.2016, 22:13

Aber hab gefragt wie man es anhand des Funktionsgraphen erkennen kann, da bei der einen Aufgabe keine Funktion gegeben ist.

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