Frage von lsfarmer, 14

Funktionsaufgaben mit Randwerten?

Bei den Vorliegenden Aufgaben scheint es ja um Randwerte zu gehen.

Hat jemnd einen Ansatz, nach dem diese zu lösen sind?

Antwort
von ProfFrink, 2

Bei Aufgabe 6a hast Du im Zähler einen binomischen Ausdruck. Den kannst Du auf die Form (a+b)^2 zurückführen und dann kannst Du kürzen.

Bei Aufgabe 6b sollstest Du mit einen Bruch erweitern, der im Zähler den gleichen Term enthält wie die Aufgabe selbst; aber mit dem Unterschied, dass das einzige Minuszeichen gegen ein Pluszeichen ausgetauscht wird. Und im Nenner soll das gleiche stehen. Somit hast Du letztlich mit einer "1" multipliziert, was ja am Resultat nichts ändert. Was soll der Nonsens? Nun multizierst Du den Term Deiner Aufgabe mit dem Zähler Deiner Erweiterung und erhältst einen binomischen Ausdruck der Form (a-b)*(a+b) = a^2 - b^2. Wirst sehen, danach ist die Grenzwertbestimmung ein Kinderspiel. Es kommt übrigens 1/2 bzw. 0,5 heraus.

Die Aufgabe 6c ist ein Hammer. Heraus kommt der Kehrwert der Zahl e, also 0,36788. Der Weg dahin ist ein bisschen fies und fängt damit an, dass Du von dem bestehen Ausdruck den natürlichen Logarithmus nimmts und diesen wieder potenzierst zur Basis e.
Also: exp(ln[ (n/(n+1)^n ])

Die Exponentialfuktion ist die Umkehrfunktion zum ln, sodass sich wiederum am Gesamtausdruck nichts ändern. Aber nun kannst Du den Ausdruck "auseinander nehmen". Beachte einfach die Logarithmusgesetze. Musst nur wissen, wie der Logarithmus eine Potenz aussieht und dann siehst Du weiter. Aber dann musst auch zwischendurch noch mal das Gesetz von L'hospital anwenden. Also alle Register ziehen. Am Ende wirst Du mit einem hübschen endliche Grenzwert belohnt nämlich den von ln[ (n/(n+1)^n ] . Den brauchst Du dann nur zu potenzieren zur Basis e und fertig.

7a. Ist easy.
7b. Auch. Vielleicht hilft es Dir am Anfang Zähler und Nenner durch x^2 zu teilen. Dann wird manches augenscheinlicher.

7c. Ist wieder ein bisschen tricky. Empfehlung: Betrachte 1-x so als wäre es a^2-b^2 ,das aus (a+b) *(a-b) hervorgangen ist. Auf diese Weise kannst Du diese Differenz in zwei Faktoren zerlegen, die es Dir erlauben, den lästigen Nenner los zu werden.
Alternativ kann auch L'hospital angewandt werden. Es kommt 2 heraus.

Antwort
von Thor1889, 11

Bei Aufgabe 7) musst du mit der Regel von de l’Hospital rangehen. D.h. Zähler und Nenner getrennt ableiten und dann den Grenzwert einsetzen und ausrechnen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l%E2%80%99Hospital

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