Frage von StudentHN, 26

Funktionen auf bestimmte Eigenschaften untersuchen, ist meine Lösungsmenge richtig?

Hallo liebes Forum,

ich habe die unten genante Beispielaufgabe. Auch meine Lösung dazu habe ich hochgeladen zur Kontrolle.

Könnte ich die Lösung so machen? ich weiß, es gibt viele andere Möglichkeiten, dies ist jedoch eine Beispielllösung von mir.

Danke

Marc

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 5

Je nach Wahl von Alpha ergeben sich 5 verschiedene "Funktionsarten".
Bzgl. der Monotonie würde ich über die erste Ableitung gehen.

1. Alpha=0 => f(x)=1
Monotonie: f'(x)=0 => keine Steigung, aber laut Definition der Monotonie kann man sie theoretisch als monoton steigend oder auch monoton fallend bezeichnen
Symmetrie: f(-x)=1=f(x) => achsensymmetrisch
Beschränktheit: lim x->+-unendlich=1 => W={1}

2. Alpha positiv und gerade: f(x)=x^(2a) und a>0
Monotonie:
f'(x)=2ax^(2a-1)
=> 1. x<0 => f'(x)<0
     2. x>=0 => f'(x)>=0
=> f für x<0 streng monoton fallend und für x>=0 monoton steigend
Symmetrie: f(-x)=(-x)^(2a)=((-x)²)^a=x²^a=f(x) => Achsensymmetrisch
Beschränktheit: lim x->+-unendlich=unendlich; f'(0)=0; W=IR>=0

3. Alpha positiv und ungerade: f(x)=x^(2a+1) und a>=0
Monotonie:
f'(x)=(2a+1)x^(2a)=(2a+1)(x²)^a
=> f'(x)>0 für alle x => monoton steigend
Symmetrie: f(-x)=(-x)^(2a+1)=-x((-x)²)^a=-x(x²)^n=-x^(2n+1)=-f(x)
                   => punktsymmetrisch
Beschränktheit: lim x->+-unendlich=+-unendlich => W=IR

4. Alpha negativ und gerade: f(x)=1/x^(2a) und a>0; D=IR\0
Monotonie:
f'(x)=-2a/x^(2a-1)
=> 1. x<0 => f'(x)>0 => streng monoton steigend
     2. x>0 => f'(x)<0 => streng monoton fallend
Symmetrie: f(-x)=1/(-x)²^n=1/x^(2n)=f(x) => achsensymmetrisch
Beschränktheit: lim x->+-unendlich=0; lim x->0=unendlich => W=IR>0

5. Alpha negativ und ungerade: f(x)=1/x^(2a+1) und a>=0; D=IR\0
Monotonie:
f'(x)=-(2a+1)^x²^n <0 => streng monoton fallend
Symmetrie: f(-x)=1/(-x)^(2a+1)=1/[(-x)x²^n]=-1/x^(2n+1)=-f(x) => punktsym.
Beschränktheit: lim x->+-unendlich=0; lim x->+-0=+-unendlich => W=IR\0

Kommentar von Rhenane ,

bei 3. fehlt bei der Monotonie noch der Sonderfall a=0 => f'(x)=1>0 => streng monoton steigend

und da, wo teilweise n im Exponenten steht, muss natürlich ein a hin...

Antwort
von poseidon42, 10

Ich mache dir nur mal einen Teil der Monotonieaufgabe vor:

Sei f(x) = x^b gegeben mit ganzer Zahl b.

Monotonie:

Betrachte: b = 0

--> f(x) = 1   auf ganz IR   (Beschränkt)

--> f(y) - f(x) = 0  mit  x < y  und  x,y aus IR

---> monoton fallend/steigend

Betrachte: b > 0  und  b gerade und damit b = 2*n  mit natürlicher Zahl n

--> f(x) = (x^2)^n  >= 0   (Beschränkt)

keine globale Monotonie, da  f(-x) = f(x)  für alle x aus IR

Betrachte daher: (-inf, 0) und  (0, inf)

--> 1)  f(y) - f(x) = |y|^(2n) - |x|^(2n)

und mit    0 > y > x  --> |y| < |x|  und damit

f(y) - f(x) < 0 ---> streng monoton fallend

für    y > x >0  --> |y| > |x|

--> f(y) - f(x) > 0   ---> streng monoton steigend


Betrachte: b > 0 und b ungerade und damit b = 2n+1 mit natürlicher Zahl n

--> f(x) = x*(x²)^n    mit  g(x) = (x²)^n  (zuvoriges Ergebnis verwenden)

--> f(x) = x*g(x)

Es folgt mit  y > x > 0  --> g(y) > g(x)

f(y) - f(x) = y*g(y) - x*g(x) > 0  ---> streng monoton steigend

Und mit  0 > y  > x ---> g(y) < g(x)

f(y) - f(x) = y*g(y) - x*g(x) = y*g(y) + |x|*g(x) > 0  --> streng monoton steigend

Damit gilt (mit Stetigkeit etc.)

f(x) = x^(2n + 1) ist streng monoton steigend auf ganz IR.


Ähnlich geht man dann für den negativen Bereich von b vor.


Kommentar von StudentHN ,

Danke. Echt top. Jetzt bin ich mit dem ganzen schon auch fertig. einiges zu machen, aber geht.

Antwort
von softie1962, 12

Also deine Lösung, das x² streng monoton fallend ist würde ich schon mal als merkwürdig bezeichnen. Zeichne die Funktion mal. Symmetrisch zur y-Achse würde ich einen Haken dran machen. Nach unten beschränkt auch. Die Lösung für f(x) = x ist auch richtig.

Die Aufgabe war allerdings x^alpha

Da musst du natürlich auch die Fälle für negative alpha berücksichtigen, also die Funktionen 1/x^alpha.



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