Frage von issma, 24

Funktion mit Punkt, der nicht auf dem Graphen liegt, Tangentengeichung bestimmen?

Hey Leute, Und zwar habe ich folgendes:

Ich habe die Funktion f(x)=-1/4x^2 +x mit einem Punkt P (0|1) der nicht auf dem Graphen liegt. Ich bin so vorgegangen: Ableitung berechnen: f'(x)=-1/4*2x+1 Berührungspunkt B(u|f(u)) Steigung m=f'(u)

t(x)=f'(u) (x-u) +f (u) t(x)= -1/42u+1*(0-u) -1/4u^2+u

Dann habe ich mein P in die Formel reingeschrieben: 1= -1/4 2u+1(0-u)-1/4u^2+u

Versucht zu vereinfachen (vergeblich ): 1=2u^2 -2/8 |+2/8 10/8=2u^2 |÷2 5/8 =u^2 | Wurzel ziehen , hat 2 Lösungen u1= 0.79 u2= -0.79

Dann in die Tangentengleichung einsetzen. Ich glaub ich hab da vieles falsch gemacht, könnt ihr mir das erklären und mir meine Fehlerquellen sagen? Danke im vorraus!

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 9

Zuerst einmal würde ich die Ableitung weiter ausrechnen, also:
f'(x)=-1/4*2x+1=-1/2x+1

allgemein sieht die Tangente so aus: t(x)=mx+b. Da es eine Tangente von f(x) sein soll, muss m=f'(x) sein. Wegen P(0|1) ist b=1 (P in t(x) einsetzen)
Dann hast Du: t(x)=f'(x)*x+1

f'(x) einsetzen: => t(x)=(-1/2x+1)*x+1=-1/2x²+x+1

Jetzt t(x) mit f(x) gleichsetzen, um die Schnittpunkte zu berechnen:

t(x)=f(x) => -1/2x²+x+1=-1/4x²+x    |+1/2x²-x
                                1   = 1/4x²        |*4
                                x²  =  4            |Wurzel
                                 x  =  +-2

Jetzt musst Du noch f'(-2) und f'(2) ausrechnen, um die beiden Tangenten t1(x) und t2(x) zu ermitteln.

Letztendlich erhälst Du die beiden Tangenten: t1(x)=2x+1 und t2(x)=1

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