Frage von Aceber05, 21

Kann man die Funktion in Bruchschreibweise ableiten?

Hallo,

bei der Funktion: y= xhoch4/xhoch7 (als Bruch geschrieben) würde die Ableitung lauten y'=4xhoch3/7xhoch6 da bei unserer Aufgabe gilt x=1 ergibt die Steigung daher k=4/7

Meine Frage dazu: Warum kann man die Funktion nicht einfach in "divisionsschreibweise" xhoch4:xhoch7 vereinfachen? Also xhoch4-7= xhoch-3

Die Ableitung dazu wäre ja dann: y'= (-3)xhoch-4 und wenn man für x wieder 1 einsetzt, die Steigung k=-3

Warum kommt bei eigentlich der gleichen Rechnung, nicht die Gleiche Steigung heraus, bzw. welcher ist den der richtige Lösungsweg und warum?

Antwort
von FataMorgana2010, 21

Der Fehler liegt darin, dass du nicht einfach einen Bruch ableitest, indem du Nenner und Zähler getrennt ableitest. 

Es ist also NICHT (f/g)' = f'/g'. 

Für einen solchen Bruch musst du die Quotientenregel anwenden, d.  h. 

(f/g)' = (f'g - g'f )/ g²

Dann muss auch dasselbe herauskommen!

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Mit f = x^4 und g = x^7 bekommst du nämlich

f' = 4 x³ , g' = 7 x^6

und damit

(f/g)' = (4x³ * x^7 - x^4 * 7 x^6) / x^14 = (4 x^10 - 7 x^10) / x^14 

= -3 x^10 / x^14 = -3 * 1/x^4

An der  Stelle 1 ergibt das die Steigung -3, es kommt also dasselbe heraus. 

Kommentar von Aceber05 ,

Nur um sicher gehen, dass ich das verstanden habe...
BSP) x^4/x^11       x=1 
y'= (4x^3.x^11-11x^10.x^4)/ (x^11)^2
y'= -7

genauso wie bei:
x^4/x^11= x^-7
y'= (-7)x^-8
y'=-7

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Ganz genau. 

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