Frage von Mila97sheesh, 57

Funktion höheren Grades: Reelle Nullstellen finden und die Produktdarstellung angeben?

Hey Leute, folgendes Problem:

geg: f(x) = 7x^3 - 2x^2 + 7x -2

Aufgabe: Finde alle reellen Nullstellen und gib die Produktdarstellung an.

Mein bisheriger Gedankengang: Nullstelle raten und dann das Hornerschema durchführen, um die Nullstellen zu finden. Leider hab ich durch probieren keine Nullstelle finden können. Und wie ich die Funktion von der Normalform in die Produktform bringe, weiß ich leider gar nicht.

Für detaillierte Antworten wäre ich sehr dankbar!

Antwort
von claushilbig, 7

Ich habe mir die Funktion mal (mit GeoGebra und) bei WolframAlpha angeschaut:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=factor+7x%5E3+-+2x%5E2+%2B+7x+-2

Die (reelle) Produktdarstellung lautet demnach

f(x) = (7x - 2)(x² + 1)

Sie hat nur eine reelle Nullstelle, bei ungefähr x = 0,285714, genauer bei x = 2/7 - es gibt also keine ganzzahlige Nullstelle. Dass Du per "Raten" keine gefunden hast, ist daher schon mal richtig ;-)

(Beim "Raten ganzzahliger Nulstellen" kannst Du Dich übrigens immer auf die ganzzahligen Teiler des konstanten Gliedes beschränken, hier also auf +/-1 und +/-2.)

Wie man allerdings zu der Lösung kommt, weiß ich aber leider auch nicht ... :-(

Antwort
von AnonyJS, 12

Zur Produktdarstellung:

Besitzt eine Polynomfunktion an der Stelle x1 eine Nullstelle, so kann man die Funktion auch in der Form: f(x)= (x-x1)*f1(x) dartsellen. Dabei ist in dem Fall (x-x-1) der Linearfaktor und f1(x) wird als reduziertes Polynom bezeichnet.

Allgemein sind die Schritte:

1. f(x)=0

2. Linearfaktoren aufschreiben

3. Produktdarstellung bilden, bei Bedarf mit dem reduzierten Polnyom bzw. dem Polynom.

Beispiel mit doppelter Nullstelle:

f(x)=x²+2x+1

PQ Formel, da x²+px+q

sqrt(x)=0, somit eine Lösung.

x1/2=-1+sqrt(1-1)

x1/2=-1-sqrt(1-1)

x1=-1

x2=-2

Linearfaktorzerlegung: (x+1) und (x+1)

Produktdarstellung:

(x+1)*(x+1) bzw: (x+1)²

Probe:

Dafür werden hier die binomischen Formel verwendet.

(x+1)^2=x^2+2x+1

(erste Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²)

Antwort
von AnonyJS, 16

Mache zuerst eine Polynomdivision und wende danach eine Lösungsformel an und bringe die Funktion in die Produktdarstellung.

Beispielsweise:

3x^3-10x^2+7x-12

Durch raten erhält man eine Nullstelle bei x1=3.

Die Rechenschritte lasse ich mal weg, sollten ja klar sein. Raus kommt: 3x^2-x+4

Da die Diskrimante negativ ist existiert keine weitere Lösung.

Produktdarstellung: f(x)=(x-3)*(3x^2-x-+4)

Kommentar von Mila97sheesh ,

Ja, so ähnlich wollte ich auch vorgehen. Nur leider habe ich keine Nullstelle erraten können, ich habe wirklich viele ganzzahlige Nullstellen ausprobiert.

Antwort
von Zwieferl, 4

Dein Ansatz ist prinzipiell richtig!

Wenn der Koeffizient der höchsten Potenz 1 ist, dann ist das konstante Glied immer das Produkt aller Lösungen (Satz von Vietà!)
→ durch 7 divdieren: x³-2/7·x²+x-2/7 → probieren zB 2/7 → Voilà! du hast die erste Nullstelle → die beiden anderen Lösungen sind nicht reell.

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 41

Raten wird hier nichts, die Funktion hat tatsächlich nur eine (reelle) Nullstelle, welche gleichzeitig noch sehr eklig zu erraten ist (x=2/7). Da kommst du am besten per Näherungsverfahren ran.

Kommentar von Mikkey ,

Wieso eklig?

(x² + 1)(7x-2)

Man muss nur das Muster x²(7x-2) + (7x-2) erkennen.

Antwort
von Vaultdoor101, 35

Kann es sein, dass du ein Minus vergessen hast? Falls ja, wäre x=1 eine Nullstelle. Andernfalls sähe es schlecht aus.

Antwort
von FelixFoxx, 5

f(x)=7x³-2x²+7x-2=(7x-2)(x²+1)

Die einzige reelle Nullstelle ist also 2/7.

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