Frage von Thebestcrusher, 89

Funktion 10.Grades rekonstruieren?

Guten Abend, unsere Tutorin wollte uns übers Wochenende eine Aufgabe stellen hat uns dies gegeben:

Rekonstruieren sie ein Funktion 10.Grades mit Folgenden Kriterien:

-Symmetrisch zur y-Achse

-Schnittpunkt mit der Y-Achse bei 8

-Nullstellen bei x=-5 und x=3

-Extrempunkt bei P(-2|1)

-Wendepunkt bei x=1

Nun habe ich das gesammte Wochenende damit verbracht nach einer Lösung zu suchen, stoße aber ständig gegen eine Wand und komme nicht voran, ich würde mich sehr über eine konstruktive Antwort freuen.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen, Mathe, Mathematik, 39

Wenn bei einer Funktion 10. Grades nur 6 Potenzen von x angetroffen werden, bedeutet dies 6 Unbekannte einschließlich Absolutglied:

y = ax¹⁰ + bx⁸ + cx⁶ + dx⁴ + ex² + f     

Ich schreibe mit Bedacht y, weil es sich bei Steckbriefaufgaben wirklich um den y-Wert eines Graphen handelt.

Das kann man ganz allgemein ableiten:

y' = 10ax⁹ + 8bx⁷ + 6cx⁵ + 4dx³ + 2ex

Da ein Wendepunkt dabei ist, musst du auch noch die 2. Ableitung bilden. Das kannst du sicher allein.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei 8.
Da x an dieser Stelle 0 ist, hast du schon mal          f = 8
Das ist praktisch die 1. Gleichung des LGS.

Für die Nullstelle musst du einen gegebenen Wert (z.B. x = 5) in die y-Gleichung einsetzen und für y eine 0 schreiben.
Sachen wie dx⁴ musst du ausrechnen, bei diesem Term: d * 5⁴ = 625d

Entsprechend die zweite Nullstelle. Damit hast du schon drei Gleichungen.

Extremwert und Wendepunkt sind ja erstmal Punkte der Kurve. Da kannst du die x-Werte auch in die Kurve einsetzen. Das klappt aber nur beim Extremwert, da der Wendepunkt kein gegebenes y hat, um eingesetzt werden zu können.

Dafür können wir Extremwert und Wendepunkt in die 1. bzw. 2 Ableitung einsetzen. Da darf dann aber y nicht verwendet werden, weil beim Extremwert y' = 0 zu nehmen ist und beim Wendpunkt y'' = 0.

Dann hast du deine 6 Gleichungen zusammen und kannst loslegen mit dem LGS, entweder zu Fuß oder mit einem sehr guten Rechner. (Selbst relativ gute steigen bei 5 Unbekannten aus. Es muss also ein tolles Modell sein.)

Noch Fragen? Schreib einen Kommentar.
Die 6 Gleichungen kannst du dann ja mal eintippen, falls du wenigstens diese hast.

---

Meinst du nicht, es wäre besser gewesen, diese Anfrage bereits am Freitag hereinzustellen statt Sonntag Nacht?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 60

Symmetrisch zur y-Achse bedeutet, dass die Funktion gerade ist, also alle Koeffizienten ungerader Potenzen wegfallen. Bleiben noch 6 Koeffizienten (für x^0, x^2, ..., x^10); hierfür brauchen wir 6 Bestimmungsgleichungen.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse liefert sofort das absolute Glied (Koeffizient für x^0), das ist 1 Bestimmungsgleichung

Die Nullstellen bedeuten Teilerpolynome; d. h. das gesuchte Polynom ist durch die Polynome (x+5) und (x-3) teilbar; dies entspricht 2 Bestimmungsgleichungen; möglicherweise ist aber f(-5) = 0 und f(3) = 0 einfacher zu handhaben

Der Extrempunkt liefert 2 Bestimmungsgleichungen: f(-2) = 1 und f'(-2) = 0

Die Wendestelle liefert f''(1) = 0

Damit haben wir insgesamt 6 Bestimmungsgleichungen; diese bilden ein lineares Gleichungssystem, das sich mit den bekannten Verfahren für lineare Gleichungssysteme lösen lässt (lassen sollte - wenn nicht, schreib uns, wo es klemmt).

Kommentar von Thebestcrusher ,

vielen dank für die schnelle antwort, es kann daran liegen das ich doch nun recht ermüdet bin, aber für mich sieht das leider wie ein unlösbares rätsel aus und egal wie ich es drehe, ich weiß nicht wo ich starten sollte, mein erster ansatz war es die zwei nullstellen in die gleichung einzufügen und diese dann gleich zu setzen und zu versuchen nach a,b,c,d,e oder f aufzulösen, dies war jedoch ein reiner reinfall.

Haben sie möglicherweise einen tipp zur herangehensweise?

Antwort
von Schachpapa, 23

Naja, zugegeben, ein bisschen blöd ist die Aufgabe schon, denn mit dem Ergebnis ist man als Schüler in aller Regel nicht zufrieden und glaubt, dass es wohl falsch sein muss:

f(x) =
 3307/34398000·x^10
 - 6961/3822000·x^8 
- 474893/11466000·x^6
+ 4086731/4914000·x^4
 - 1238893/286650·x^2
 + 8

Berechnet mit: http://arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Leider gibt es dort kein Häkchen für Symmetrie, so dass man alle Eigenschaften (bis auf f(0)=8) doppelt eingeben muss, z.B. Extrempunkt bei (-2|1) und bei (2|1). So hat man dann 11 Angaben statt der notwendigen 6.

Vielleicht hätte ja schon das Aufstellen der Bestimmungsgleichungen gereicht, ein LGS mit 6 Variablen macht ja kein Mensch zu Fuß.

Aber ich mag nicht so richtig glauben, dass man damit ein ganzes Wochenende verbringt. Wenn man absolut keine Idee hat, nützt doch auch das Anstarren der Aufgabe nichts.

Antwort
von Wechselfreund, 12

Ergänzung: Durch die Symmetrie verringert sich ja die Anzahl der Gleichungen. Das Gleichungssystem dürft ihr doch wahrscheinlich mit GTR lösen?!

Antwort
von Varlor, 19

Symmetrisch zur y-Achse-->Keine ungeraden Exponenten:

f(x) = ax¹⁰ + bx⁸ + cx⁶ + dx⁴ + ex² + f      

Schnittpunkt mit der Y-Achse bei 8 (<=> x ist dort 0):

f=8 --> f(x) = ax¹⁰ + bx⁸ + cx⁶ + dx⁴ + ex² + 8

Nullstellen bei a) x=-5 und b) x=3 

a) f(-5)=0

b) f(3)

Extrempunkt bei P(-2|1)

a) f'(x)df/dx = 10ax^9 + 8bx^7 + 6cx^5 + 4dx^3 + 2ex

f'(-2) = 0

b) f(-2) = 1

Wendepunkt bei x=1 

f''(x) = 90ax^8 +56bx^6 + 30cx^4 + 12dx^2 +2e

f''(1) = 0 

Also hast du nach  der 2. Gleichung noch 5 Informationen für 5 Variabeln --> lösen

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 32

Hierfür braucht man Spezialkenntnisse.

MERKE : Für jede Unbekannte braucht man eine Formel,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.

Solch eine Aufgabe wie hier,brauchst du in deinen ganzan Leben nie wieder lösen.

TIPP : Schließt euch zusammen,die ganze Klasse und sagt,"Wir haben unser Möglichstes getan,wir können die Aufgagbe nicht lösen ".

Rechnen Sie uns die Aufgabe doch mal vor,damit wir wissen wie´s geht.

Kommentar von Thebestcrusher ,

klingt einfach ^^ problem ist, sie gab uns diese aufgabe als extra zum punkten und hätte ich dies nun lösen können, so müsste ich nicht an einen LK wechsel denken, da ich mit 9 punkten in einem lk nicht weit kommen werde...

Kommentar von fjf100 ,

Hinweis : bei mir im Ort gibt es die "Schülerhilfe".ist eine Firma,die Schülern gegen geld die Aufgaben löst.

Ein 6 Monatsvertrag kostet so 180 Euro,für 1 1/2  Stunden pro Woche,also 4 * 1 1//2 *6= 36 Stunden ergibt 5 Euro/Std 

Diese haben Fachleute bis zum Abitur.

LK Physik einen Physikspezialisten.

LK Mathematik einen Mathespezialisten

usw.

TIPP : gründet eine Lerngruppe und dann teilen eure Eltern sich die Kosten.

So kommt ihre schnell an eure Lösungen und dann an die guten Noten.

Die Aufgabentypen bis zum Abitur sind eh immer gleich.

Das ist doch heller Wahnsinn,wenn 25 Schüler ohne irgendwelche Kenntnisse solche Aufgaben lösen sollen.

Kommentar von Thebestcrusher ,

klingt schön und gut, hilft mir jedoch im moment nicht...

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