Frage von Alejandro1998, 78

Für welchen Wert von a gibt es nur eine Stelle mit waagerechter Tangente?

f(x) = 1/3x^3-x^2-ax

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 18

Stellen mit waagrechter Tangente sind Extrempunkte (oder Sattelpunkte). Diese werden berechnet, indem f'(x) null gesetzt wird.

Wenn es nur einen Extrempunkt geben soll, so darf f'(x) nur eine Nullstelle haben.

Da f(x) eine kubische Funktion (dritten Grades) ist, ist f'(x) eine quadratische Funktion (zweiten Grades).

Und damit eine quadratische Funktion nur eine Nullstelle hat, muss diese die x-Achse berühren, also nicht vertikal verschoben sein.

f(x) = 1/3 * x³ - x² - ax
f'(x) = x² - 2x - a

Formen wir f'(x) in die Scheitelpunktform um, erhalten wir:

f'(x) = (x - 1)² - 1 - a

-1 - a gibt die vertikale Verschiebung der Parabel an.

Da diese null sein muss, gilt: -1 - a = 0 ⇔ a = -1

Also: f(x) = 1/3 * x³ - x² + x

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Kommentar von Alejandro1998 ,

Okei vielen Dank, ich bin auch auf -1 gekommen , in dem ich angenommen habe, dass die Diskrimante der eingesetzten Ableitung in die Lösungsformel gleich null sein muss. 

Wie würde ich dann den entsprechenden Punkt auf dem Graphen von f herausfinden?

Viele Grüße

Kommentar von Willibergi ,

Den Extrempunkt?

Na einfach f'(x) = 0:

f'(x) = x² - 2x + 1

0 = x² - 2x + 1 ⇔ x = 1

Der x-Wert ist also x = 1.

Für den y-Wert setzt du den x-Wert in die Funktion ein:

f(1) = 1/3 * 1³ - 1² + 1 = 1/3

Der besagte Punkt ist also (1 | 1/3).

In dem Fall ist es sogar ein Sattelpunkt. ;)

LG Willibergi

Kommentar von Alejandro1998 ,

Vielen Dank! Aus der Aufgabenstellung geht nicht klar hervor, ob ich die Koordinaten des Extrempunktes auf f(x) oder f`(x) berechnen soll. Es steht nur dabei auf dem Graphen von f. Ist damit die Ableitungsfunktion oder die Ausgangsfunktion gemeint?

Kommentar von Willibergi ,

Damit ist selbstverständlich die Ausgangsfunktion gemeint. Würde man die Ableitungsfunktion meinen, würde man von f' sprechen. ;)

LG Willibergi

Kommentar von Alejandro1998 ,

Okei vielen Dank, jetzt sollte es absolut klar sein;)

Kommentar von Willibergi ,

Gern geschehen! ;)

LG Willibergi

Kommentar von Alejandro1998 ,

Doch noch eine Frage: Wie ist es zu erklären, dass man zuerst mit Hilfe der Ableitungsfunktion die x Koordinate ausrechnet, dann aber über die Ausgangsfunktion die y-Koordinate bestimmt? 

Kommentar von Willibergi ,

Die x-Koordinate des Extrempunkts von f entspricht der x-Koordinate der Nullstelle von f'.

Da der Punkt aber auf f und nicht auf f' liegen soll, muss der Funktionswert von f zum x-Wert des Extrempunkts berechnet werden.

Würdest du den x-Wert des Extrempunkts von f in f' einsetzen, würde Null rauskommen, da das ja der Nullstelle entspricht.

Du willst aber wissen, wo der Extrempunkt auf dem Graphen von f liegt, also musst du den x-Wert auch in f einsetzen. ;)

LG Willibergi

Kommentar von Alejandro1998 ,

Jawohl jetzt hab ich es aber verstanden:D

Antwort
von gfntom, 43

Waagrechte Tangente: Steigung (=1. Ableitung) = 0

a ist demnach so zu wählen, dass die 1. Ableitung nur eine Nullstelle hat.

Kommentar von Alejandro1998 ,

Vielen Dank! So weit bin ich bis jetzt auch gekommen, nur wenn es darum geht, den entsprechenden Punkt auf dem Graphen von f zu berechnen setzt es bei mir aus:D

Antwort
von Spucki12, 11

Was ich jetzt gemacht hab ist, die Ableitung zu bilden und sie versuchen null zu setzen erstmal:

f(x) = (1/3)x³ - x² - ax

f'(x) = x² - 2x - a

f'(x) = 0   =>  x² - 2x -a = 0 |+a

x² - 2x = a | x ausklammern

x (x-2) = a

Heißt also, für jedes a, für das gilt a = x (x-2), hat f(x) genau eine Stelle mit der Tangentensteigung Null. Kann das die Lösung sein, die bei dir gefordert wird?

Kommentar von Alejandro1998 ,

Vielen Dank für deine Hilfe! Kann gut möglich sein, dass dies die richtige Lösung ist. Mein ursprünglicher Gedanke war, die Ableitung gleich 0 zu setzen und zu schauen, wann diese null wird. Habe gedacht, wenn mit Hilfe der Lösungsformerl die Diskriminante 0 ist gibt es nur eine Lösung. Kann auch sein, dass ich damit falsch lag, bin mir nicht ganz sicher. Darf man das mit der Diskriminante hier überhaupt so anwenden?

Wie würde man deiner Meinung nach dann den entsprechenden Punkt auf dem Graphen f herausfinden?

Kommentar von Spucki12 ,

Ok les dir lieber das von dem Williberg da durch... er scheint auf ein konkretes Ergebnis zu kommen.

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