Frage von Alpha456, 23

Für welche Werte von a gibt es keine Nullstellen bei dieser Quadratischen Gleichung?

Hi. Die Gleichung lautet: 3x²-ax-a-1

damit es keine Nullstellen gibt, müsste D<0 sein also b²-4ac<0 also -a²-4x3x(a-1)<0.

Ich hätte jetzt gerechnet: -a²+12a+12<0 / -12 also -a²+12a<-12 /x(-1) also a²-12a>12 dann hätte ich quadratisch ergänzt also a²-12a+6²-6²>12 / +36 heißt (a-6)²>48 dann Wurzel ziehen also a-6>(Wurzel 48) /+6 dann hätte ich a>6+(Wurzel 48) .

Aber das stimmt nicht.

Kann mir bitte jemand helfen?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 23

Hallo,

Du teilst die Sache erst einmal durch 3:

x²-(a/3)x-a/3-1/3=0

Wenn Du nun die pq-Formel einsetzt, bekommst Du a/6±√(a²/36+a/3+1/3).

Damit diese Gleichung keine reelle Lösung besitzt, muß der Ausdruck unter der Wurzel negativ werden. Am besten bringst Du alles auf einen Bruchstrich und setzt es auf Null: (a²+12a+12)/36=0 oder a²+12a+12=0.

Diese Gleichung hat die zwei Lösungen -1,01020514 und -10,89897949.

Da es sich um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, befindet sich der Teil zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der x-Achse, also im negativen Bereich. Für -10,89897949<a-1,01020514 dürfte 3x²-ax-a-1 demnach keine Nullstellen besitzen.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Alpha456 ,

Mittels welcher Rechenschritte kommst du von a²+12a+12=0 auf die 2 Lösungen? 


Danke

Kommentar von Alpha456 ,

Und die Formel für die Diskriminante ist ja b²-4ac  wie kommst du auf a²/36 ? da b ja -(a/6) ist, müsste doch b² -(a²/36) sein? 

Achso, hab schon verstanden. Du hast alles x(-1) genommen

Kommentar von Willy1729 ,

Ich war jeweils nach der pq-Formel vorgegangen, dann ist die Diskriminante sozusagen der Ausdruck unter der Wurzel, also
p²/4-q mit p=a/6 und q=-(a/3+1/3). So kommst Du auf a²/36+a/3+1/3 oder auf (a²+12a+12)/36.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Alpha456 ,

ok ich habs, danke :)

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