Für welche p ∈ R hat die Gleichung eine reelle Lösung?

... komplette Frage anzeigen

2 Antworten

Fallunterscheidung einführen, besonders wann der Wert von p entscheidet, ob durch eine Zahl geteilt werden kann oder nicht.

Fall 1. p=1. Dann gilt GLEICHUNG ⟺ 0x²–4x+4·0 = 0  ⟺ –4x = 0 ⟺ x=0. Also hat GLEICHUNG für p=1 exakt eine Lösung.

Fall 2. p≠1. Dann gilt

GLEICHUNG ⟺ x²–2(2p/(1–p))x + 4 = 0
⟺ x = (2p/(1–p)) ± √[(2p/(1–p))²–4]
⟺ x = (2p/(1–p)) ± 2√[p²–(1–p)²]/(1–p)
⟺ x = (2p/(1–p)) ± 2√[2p–1]/(1–p)

Fall 2.1. 2p ≠ 1. Dann hat GLEICHUNG exakt 2 Lösungen und zwar in ℂ\\ℝ, also 0 Lösungen in ℝ.

Fall 2.2. 2p = 1. Dann hat GLEICHUNG exakt 1 Lösung und zwar in ℝ.

Fall 2.3. 2p > 1. Dann hat GLEICHUNG exakt 2 Lösung und zwar in ℝ.

Zusammengefasst.

GLEICHUNG hat exakt 1 Lösung
⟺ p=1 oder 2p=1
⟺ p∈{1;1/2}
Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

2x - 2px - 4px + 4 - p = 0
2x - 6px - p + 4 = 0
x (2 - 6p) - p + 4 = 0
x (2 - 6p) = p - 4

x = (p - 4) / (2 - 6p)

2 - 6p != 0
6p != 2
p != 1/3

Dies ist nur die Idee eines Zwölftklässlers, also übernehme ich keine Garantie für Richtigkeit, da dein Bildungsstand vermutlich auf einem höheren Niveau als meiner liegt. So wie es ausschaut, hat x für alle p != 1/3 genau eine reelle Lösung. Im Falle von p = 1/3 gibt es keine Lösung, da 2 - 6 (1/3) = 0, man darf bekanntlich nicht durch null teilen.

Somit gilt (Zumindest so weit ich es verstanden habe): Für alle p ∈ R; p != 1/3 hat die Gleichung genau eine reelle Lösung. Für alle p ∈ R hat die Gleichung maximal eine reelle Lösung.

Erneut: Ich übernehme keine Garantie für Richtigkeit und es kann sein, dass ich aufgrund meines Bildungsstandes Möglichkeiten ausgelassen habe, die existieren.

EDIT: Mir ist ein kleiner Fehler unterlaufen, habe ihn nun korrigiert.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von PeterLustig1999
25.10.2016, 23:12

Nur als kleine Anmerkung: Ab dem dritten Absatz bei den Gleichungen wird das Auflösen eigentlich unnötig, das ist nicht gefordert. Ich hab es jedoch trotzdem mit eingebracht, nur für den Fall, dass ich etwas falsch verstanden habe.

0

Was möchtest Du wissen?