Frage von Sandrolive, 46

für welche natürliche Zahl gillt, dass ihre Potenz mit sich selber gleich gross ist wie die Summe mit sich selber oder wie das Produkt mit sich selber?

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 18

also: x^x = x * x = x + x

"vordere" Gleichung:
x^x=x * x
x^x=x² => x=2     (Basis ist gleich, also muß auch der Exponent
                             gleich sein, damit die Gleichung stimmt)
Probe: 2² = 4; 2 * 2 = 4; 2+2 = 4

oder "hintere" Gleichung:
x * x = x + x
x²=2x              |-2x
x²-2x=0           |x ausklammern
x(x-2)=0          |Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist
x=0 oder x=2

Test: x=0:        0+0=0; 0 * 0=0, aber 0^0=1 (per Definition, da a^0=1 für alle a
                                                                      gesetzt wurde)
        x=2:        2+2=4; 2 * 2=4, 2²=4

Kommentar von PWolff ,

Für die vordere Gleichung gibt es noch den Fall Basis = 1

Kommentar von ralphdieter ,

oder auch den Fall Basis=0 (wenn man die 0 unbedingt als natürliche Zahl sehen will...)

Kommentar von ralphdieter ,

@Rhenane: nach dem Gemecker muss ich noch erwähnen, dass Deine Antwort immerhin die einzige ist, die die Aufgabe vollständig untersucht.

Im "vorderen" Teil hättest Du einfach logarithmieren können, und im "hinteren" Teil hätte ein lapidares 0∉ℕ genügt. Dann wär's perfekt.

Kriegst aber auch so einen Daumen hoch!

Kommentar von Rhenane ,

Wollte die (richtige) Lösung x=2 für die vordere Gleichung so "unkompliziert und logisch" wie möglich rüberbringen, da ist mir dann die 1 als weitere mathematische Lösung per Logarithmus durchgegangen...

Antwort
von lalifa, 17

also rechenweg.

x hoch x  = x mal  x =  x + x

zu x mal x kann man auch sagen x².  zu x plus x sagt man 2x 

also x²=2x

den rest kannst du alleine ;)

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 16

Zweimal darfst du raten.

Im Ernst, warum hast du es nicht mal eben für 1, 2, 3, 4 und 5 ausprobiert?

Antwort
von MacWallace, 22

Hallo,

die Zahl ist 2.

2+2 = 4
2*2 = 4
2^2 = 4

Mit freundlichen Grüßen,
Dr Blex

Kommentar von KDWalther ,

Das ist jetzt eine Lösung. Gibt es weitere?

Kommentar von PWolff ,

Schau dir am einfachsten die Ausdruckspaare

(1*1, 1+1)

(2*2, 2+2)

(3*3, 3+3)

(4*4, 4+4)

(5*5, 5+5)

an. Was fällt dir dabei auf? Kennst du Induktionsbeweise oder den Begriff der Monotonie?

Kommentar von MacWallace ,

x+x = x*x

2x = x^2  | /x

2 = x

Wie du siehst, gibt es selbst nur für die Summe und Potenz nur die 2 als Lösung, dementsprechend ja, nur die 2.

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