Frage von Masen, 28

Für welche Mengen ist die Summe zweier Elemente wieder in der Menge?

Für welche der angegebenen Mengen gilt, dass die Summe zweier Elemente stets wieder ein Element der Menge ist

(i) A = {λu|λ∈R}

(ii) B = {u+x|x∈R2}

(iii) C = {λu+μv|λ,μ∈R}

(iv) D = {λu+μw|λ,μ∈R}

(v) E = {v+λu|λ∈R}

(vi) F = {w+λu|λ∈R}

u,v und w sind Vektoren!

u = (2,3) v = (3,-1) w = (4,6)

Ich denke bei allen? Vielleicht bei E nicht?

Vielen Dank :)

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 9

Ich denke bei allen? Vielleicht bei E nicht?

Nehmen wir uns zu diesem Anlass erst einmal E vor:

E = {v + λu|λ∈ℝ}  *)

stellt einen sogenannten affinen Unterraum bzw. eine lineare Mannigfaltigkeit dar. Es ist eine typische Geradengleichung, aber die Gerade verläuft nicht durch den Ursprung, da v und u linear unabhängig sind. Es ist

(v + λu) + (v + µu) = 2v + (λ + µ)u ∉ E, 

weil man das im Allgemeinen nicht in die Form v + λu bringen kann. Natürlich ist auch

F = {w + λu|λ∈ℝ}

eine lineare Mannigfaltigkeit, aber eben eine mit der speziellen Eigenschaft, dass sie den Ursprung enthält, nämlich für


λ = –½.

Daher ist F ein Untervektorraum (Ursprungsgerade in u-Richtung), der übrigens mit A übereinstimmt. Spontan hatte ich eingangs auch

B = {u + x|x ∈ ℝ²}

für ein Gegenbeispiel gehalten, aber das ist Quatsch, denn

(u + x₁) + (u + x₂) = 2u + x₁ + x₂ = u + x mit x = x₁ + (x₂ – u).

Es ist B = ℝ². Auch

D = {λu + μw|λ,μ∈ℝ}

ist eine solche Menge, aber wegen w = 2u nur eine Gerade, die übrigens mit A und F identisch ist.

C stimmt - wie B - mit ℝ² überein. Deine Vermutung stimmt also.

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*) In Chromium oder Chrome kannst Du »ℝ« schreiben, mit STRG+C kopieren und mit SHIFT+STRG+V Inhalt einfügen, und es kommt ℝ heraus. In der App wird es umgewandelt, nur musst Du dann genau aufpassen, was Du schreibst.

Antwort
von Masen, 22

die Werte zu den Vektoren! 

u=(2,3) v=(3,-1) w=(4,6)

Kommentar von kreisfoermig ,

(i), (ii)*,  (iii), (iv), da genau diese UVR bilden und die anderen eben nicht. *=solange da {u+x|x∈ℝ²} steht.

Kommentar von Masen ,

Vielen Dank :))

Kommentar von ralphdieter ,

(vi) passt aber auch, da w=2u.

Also sind's alle außer (v). Dort ist z.B. (v+0u)+(v+0u)=2v∉E

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