Für welche a element R gibt es mehr als einen Schnittpunkt mit der x-Achse?

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2 Antworten

Schnittpunkte mit der x-Achse sind gerade die Nullstellen.

Gesucht sind also die Lösungen in x von (a-1)/3 x^3 - a x für die verschiedenen a.

1. x ausklammern - x = 0 ist immer eine Nullstelle; es bleibt übrig:

(a-1)/3 x^2 - a = 0

2. den Rest nach x auflösen:

x = ± √( 3 a / (a-1) )

Ob dies reelle Lösungen hat, hängt vom Vorzeichen des Radikanden (Term unter der Wurzel) ab:

( 3 a / (a-1) ) < 0: keine weitere (reelle) Nullstelle

( 3 a / (a-1) ) = 0: genau eine weitere Nullstelle; dies ist aber eine doppelte Nullstelle, also eine Stelle, wo der Graph die x-Achse von einer Seite berührt, und ob man das als Schnittpunkt bezeichnet, hängt von der genauen Definition von "Schnittpunkt" ab

( 3 a / (a-1) ) > 0: zwei verschiedene reelle Nullstellen

Jetzt sind noch die Null- und Polstellen in a von 3 a / (a-1) zu untersuchen, sowie die Vorzeichen in den Bereichen dazwischen und links und rechts davon

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Kommentar von ralphdieter
13.02.2016, 19:37

( 3 a / (a-1) ) = 0: genau eine weitere Nullstelle

Nützt uns aber nix (wegen Punkt 1. deiner Antwort).

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PWolff hat schon geschrieben, welche Formel die Nullstelle(n) angibt:
x = ± √( 3 a / (a-1) )

3a/(a-1) ist = 0 wenn a = 0, dann gibt es genau ein Nullstelle nämlich x=0

3a/(a-1) ist größer Null, wenn Zähler und Nenner das gleiche Vorzeihen haben, also wenn
1.) a > 0 und a-1 > 0 also wenn a > 1 oder
2.) a < 0 und a-1 < 0 also wenn a < 0
Dann gibt es insgesamt 3 Nullstellen, die x=0 (vom Ausklammern)
und x=± √( 3 a / (a-1) )

3a/(a-1) ist kleiner Null, wenn Zähle und Nenner verschiedene Vorzeichen haben, also wenn
1.) a>0 und a-1 <0 d.h. 0<a<1 oder
2.) a<0 und a-1>0  (das geht nicht gleichzeitig)
Dann gibt es nur die Nullstelle bei x=0 (vom Ausklammern), weil man aus negativen Zahlen keine reellen Wurzeln ziehen kann.

Wenn a=1 ist, ist die Funktion f(x) = -x die hat eine Nullstelle bei x=0

Zusammengefasst (Antwort auf die eigentliche Frage fett)

a < 0 drei Nullstellen
0 <= a <= 1   eine Nullstelle
a > 1 drei Nullstellen


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Kommentar von PWolff
13.02.2016, 19:42

Kleine Ergänzung: für a = 1 ist die Funktion nicht definiert. (Also überhaupt keine Nullstelle - und damit auch nicht mehr als eine)

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