Für welche a element R gibt es mehr als einen Schnittpunkt mit der x-Achse?
Für welche a element R gibt es mehr als einen Schnittpunkt mit der x-Achse? fa(x)=(a-1)/3 *x^3 - ax
wie bekomme ich dies heraus? lg Sophie
2 Antworten
Schnittpunkte mit der x-Achse sind gerade die Nullstellen.
Gesucht sind also die Lösungen in x von (a-1)/3 x^3 - a x für die verschiedenen a.
1. x ausklammern - x = 0 ist immer eine Nullstelle; es bleibt übrig:
(a-1)/3 x^2 - a = 0
2. den Rest nach x auflösen:
x = ± √( 3 a / (a-1) )
Ob dies reelle Lösungen hat, hängt vom Vorzeichen des Radikanden (Term unter der Wurzel) ab:
( 3 a / (a-1) ) < 0: keine weitere (reelle) Nullstelle
( 3 a / (a-1) ) = 0: genau eine weitere Nullstelle; dies ist aber eine doppelte Nullstelle, also eine Stelle, wo der Graph die x-Achse von einer Seite berührt, und ob man das als Schnittpunkt bezeichnet, hängt von der genauen Definition von "Schnittpunkt" ab
( 3 a / (a-1) ) > 0: zwei verschiedene reelle Nullstellen
Jetzt sind noch die Null- und Polstellen in a von 3 a / (a-1) zu untersuchen, sowie die Vorzeichen in den Bereichen dazwischen und links und rechts davon
Stimmt, mit der ursprünglichen Nullstelle muss man hinterher immer noch vergleichen. (Dafür war ich zugegebenermaßen zu faul, das sollte der Fragesteller selbst tun.)
Für a=0 hat die Funktion bei x=0 sogar eine dreifache Nullstelle.
PWolff hat schon geschrieben, welche Formel die Nullstelle(n) angibt:
x = ± √( 3 a / (a-1) )
3a/(a-1) ist = 0 wenn a = 0, dann gibt es genau ein Nullstelle nämlich x=0
3a/(a-1) ist größer Null, wenn Zähler und Nenner das gleiche Vorzeihen haben, also wenn
1.) a > 0 und a-1 > 0 also wenn a > 1 oder
2.) a < 0 und a-1 < 0 also wenn a < 0
Dann gibt es insgesamt 3 Nullstellen, die x=0 (vom Ausklammern)
und x=± √( 3 a / (a-1) )
3a/(a-1) ist kleiner Null, wenn Zähle und Nenner verschiedene Vorzeichen haben, also wenn
1.) a>0 und a-1 <0 d.h. 0<a<1 oder
2.) a<0 und a-1>0 (das geht nicht gleichzeitig)
Dann gibt es nur die Nullstelle bei x=0 (vom Ausklammern), weil man aus negativen Zahlen keine reellen Wurzeln ziehen kann.
Wenn a=1 ist, ist die Funktion f(x) = -x die hat eine Nullstelle bei x=0
Zusammengefasst (Antwort auf die eigentliche Frage fett)
a < 0 drei Nullstellen
0 <= a <= 1 eine Nullstelle
a > 1 drei Nullstellen
Kleine Ergänzung: für a = 1 ist die Funktion nicht definiert. (Also überhaupt keine Nullstelle - und damit auch nicht mehr als eine)
Die Lösungsformel x = ± √( 3 a / (a-1) ) ist für a=1 nicht definiert, weil man nicht durch 0 teilen kann.
Die Funktion wird bei a=1 zu f(x) = 0*x^3 - 1 * x = -x
Es ist dann keine Funktion dritten Grades mehr und man benötigt die Lösungsformel nicht. Sie hat genau eine Nullstelle.
Nützt uns aber nix (wegen Punkt 1. deiner Antwort).