Frage von marcello2013, 40

Fragen zur Funktion 3 und 4. Grades (Nullstellen)?

Folgende Aufgaben

  1. 0,5x^4-5=0 |+5 ;0,5

    x^4=10 | +-(4 Wurzel aus 10)

x1/2= +-(4Wurzel aus 10)

Aufgabe 2

-2x^3-2=0 |+2 ; :(-2)

x^3 =-1 | (3 Wurzel aus -1)

x1= -1

Ich hoffe das stimmt soweit alles. Jetzt zu meiner eigentlichen Frage: Wieso hat die Funktion 4. Grades 2 Nullstellen und die Funktion 3. Grades nur eine Nullstelle. Sollte die Funktion 4. Grades nicht 4 und die Funktion 3. Grades 3 Nullstellen haben?

Ich kann es mir nur so erklären, dass bei der Aufgabe mit der Funktion 3. Grades eine 3-Fache-Nullstelle vorliegt und bei der Funktion 4. Grades jeweils 2 Doppelte Nullstellen. Wenn das der Fall ist könnte ich es dann auch so aufschreiben

  1. x1/2/3/4 = +-(4Wurzel aus 10)

  2. x1/2/3 = -1

MFG

Antwort
von Peterwefer, 24

Mit der Funktion 4. Grades verhält es sich im Prinzip wie mit der Funktion 2. Grades. Sie kann die Form einer (stark verengten) Parabel haben. Dann hat sie nur entweder 1 (der Nullpunkt berührt die y-Achse) oder 2 Nullstellen. Natürlich kann sie auch gar keine Nullstellen haben. . Sie kann aber auch die Form eines - wie soll ich sagen? stilisierten W's haben, wobei die beiden Schenkel auch noch verschieden weit in die Tiefe reichen. Dann hat sie vielleicht (aber nicht unbedingt) drei oder vier Nullstellen. Eine oder zwei und auch gar keine Nullstellen sind ebenfalls möglich.

Antwort
von PhotonX, 24

Die Rechnungen sind richtig, deine Interpretation aber nicht. Polynome n-ten Grades haben genau n komplexe Nullstellen. Zum Beispiel hat das Polynom in Aufgabe 1 die Nullstellen +4.wurzel(10), -4.wurzel(10), i*4.wurzel(10) und -i*4.wurzel(10), wobei i die imaginäre Einheit ist, die definiert ist als i=wurzel(-1).

Kommentar von Peterwefer ,

Das gilt aber nicht, wenn die Lösungsmenge nicht im Bereich der komplexen, sondern im Bereich der reellen Zahlen liegen soll.

Kommentar von PhotonX ,

Den Einwand verstehe ich nicht. Die Aussage, dass ein Polynom n-ten Grades genau n Nullstellen hat, ist richtig, egal ob ich nur reelle Nullstellen betrachten will oder nicht. Wenn ich nur reelle Nullstellen betrachten will, dann werde ich weniger (reelle)  Nullstellen finden, aber das Polynom hat weiterhin genau n komplexe Nullstellen.

Antwort
von genau14zeichen, 21

Jede Funktion n-ten Grades hat genau n Nullstellen. 

ABER: das heißt in deinem Beispiel nicht, dass die Funktion dritten Grades eine dreifache Nullstelle hat. So etwas gibt es nicht.. Die Lösung liegt in den komplexen Zahlen. Sprich, deine Funktion hat eine reelle Nullstelle und zwei komplexe. 

Kommentar von PhotonX ,

So etwas gibt es nicht.

An sich schon (zum Beispiel x^3=0 hat die dreifache Nullstelle 0), ist hier aber nicht der Fall.

Kommentar von genau14zeichen ,

Da habe ich mich wohl vertan :D Danke fürs Korrigieren

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