Frage von brabbit25, 113

Frage zur Übergangsmatrix/Verteilung?

Ich schreibe in wenigen Tagen eine Matheklausur (12.Klasse/Q2)... Nun sitze ich schon seit paar Stunden an einer Aufgabe und kann mir die Lösung im Buch einfach nicht erklären! Die Übergangsmatrix lautet P= 0,5 0,25 0,2 0,25 0,5 0 0,25 0,25 0,8 Also eine 3x3 Matrix.

Die Matrix gibt an,wie viele Kunden von den Tankstellen A,B,C jeweils wechseln. (Also von A zu A, B zu A, C zu A etc)...

Die Aufgabenstellung lautet: In einer bestimmten Woche tanken von ingesamt 1000 Autofahrern 300 bei A, 400 bei B und 300 bei C. Berechnen Sie für die nächsten beiden Wochen die Verteilung der Autofahrer auf drei Tankstellen. Welche Verteilung stellt sich nach 10 Wochen ein?

Im Buch multiplizieren Sie für 2 Wochen die Übergangsmatrix P x (300/400/300) für eine Woche,was mir auch plausibel erscheint. Für die nächsten 2 Wochen rechnen sie das Ergebnis nach einer Woche mal P ... Das verstehe ich nicht. Noch weniger verstehe ich jedoch,dass sie P^10 x (300/400/300) rechnen um auf das Ergbnis nach 10 Wochen zu kommen... Wie rechnet man ne Matrix hoch 10 und wieso?

Das kommt mir so unlogisch vor...

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 35

Nach 1 Woche: v1 = P · v0  (v0: Verteilungsvektor am Anfang, v1 nach 1 Woche)

Nach 2 Wochen: v2 = P · v1 = P · (P · v0)

usw.

Da die Matrizen- und Vektormultiplikation assoziativ ist, heißt das:

v2 = P · (P · v0) = (P · P) · v0 = P² · v0

v3 = P³ · v0

usw.

Wobei P^n definiert ist als das n-fache Matrizenprodukt von P mit sich selbst:

P^n = P · P · ... · P  (n Faktoren)

-----

Wenn wir zwei n×n-Matrizen A und B miteinander multiplizieren, sodass sich die n×n-Matrix C ergibt:

C = A · B

dann sind die "Matrixelemente" von C so zu berechnen:

C(i,k) = ∑ (j = 1 bis n)  A(i,j) * B(j,k)

(Für schematische Darstellungen siehe Google-Suche nach Bildern zu Matrizenmultiplikation)

Um P^10 zu berechnen musst du also entweder 9 Matrizenmultiplikationen durchführen oder die Matrix P "diagonalisieren" - bei Diagonalmatrizen darf man die einzelnen Elemente potenzieren.

Diagonalisieren: Gesucht wird eine umkehrbare Matrix U so, dass

D = V · P · U   (V · U = E  (Einheitsmatrix))

eine Diagonalmatrix ist (D(i,j) = 0, immer dann, wenn i ≠ j ist).

Dann ist P = U · D · V  und  P^n = U · D^n · V

Antwort
von Mrydobon, 95

Das ist aber richtig so, so berechnet man das.
Für 5 Einheiten hoch 5 , für 7 hoch 7 usw.

Kommentar von brabbit25 ,

Ok danke :) weißt du denn,wie man eine Matrix hoch ne Zahl nimmt? einfach multiplizieren oder jede einzelne Zahl der Matrix hoch 1/2/3 etc?

Kommentar von Mrydobon ,

Das weiss ich leider nicht, da wir das einfach in TR eingeben dürfen 😁😁

Kommentar von Mrydobon ,

Dürft ihr das nicht?

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