Frage von Nolt123, 77

Frage zur Singulärwertzerlegung symmetrischer Matrizen?

Hallo,

mir ist bekannt dass die Singulärwerte einer symmetrischen Matrix A gleich die Beträge der Eigenwerte genau dieser Matrix A sind. Aber wie berechnet man denn nun die Vektoren u=1/Singulärwert mal A mal Eigenvektor? Ich mein das folgendermaßen: Normalerweise berechnet man bei reelen Matrizen(nicht symmetrisch B) ja B(transponiert) mal B. Daraufhin bestimmt man die Eigenwerte und berechnet die zugehörigen Eigenvektoren von B. Mit hilfe von diesen kann man die obige Formel u=1/Singulärwert(Wurzel der Eigenwerte im Falle einer nichtsymm Matrix B) mal B mal Eigenvektor der jeweils zu einem Eigenwert gehört(der unter der Wurzel einen Singulärwert ergibt).

Aber bei einer symmetrischen Matrix nimmt man ja nicht die Eigenwerte von einer Matrix transponiert mal der Matrix sondern nur von der Matrix selber. Wessen Eigenvektoren soll man dann für die obige Formel nutzen um die u´s zu bestimmen? Die Eigenvektoren der Matrix selber im Falle einer symmetrischen Matrix? Danke im Voraus.

Antwort
von Nolt123, 32

Vielleicht nochmal für alle zum besseren Verstehen meiner Frage falls es bisschen zu vermischt rüber gekommen ist:

Ich meinte ob man zur Berechnung der Vektoren u (welche ja bereits
eine Orthonormalbasis bilden wenn diese spaltenweise dastehen bzw eine
orthogonale Matrix U) die Eigenvektoren der symmetrischen Matrix B
benutzen muss(die zu den Eigenwerten von B gehören die ja = die
Singulärwerte sind bei einer symmetrischen Matrix B) oder in dem Fall
anders rechnen muss?
Normalerweise bestimmt man ja die Vektoren u ( für nicht symmetrische Matrizen z.B. A mit der Formel

u=1/Singulärwert(wobei Sw=Wurzel der Eigenwerte von Atransponiert*A) *A*v(wobei v Eigenvektor zum Eigenwert der Matrix Atransponiert*A ist)

Antwort
von Nolt123, 68

Ich meinte oben natürlich die Eigenwerte und Eigenvektoren von Btransponiert mal B.


Antwort
von amdphenomiix6, 54

Weißt du denn, wie Eigenwerte überhaupt definiert sind?
Ein Eigenwert e ungleich 0 ist genau dann ein Eigenwert einer Matrix A, wenn
e element von ker(A-e*I) , wobei I die Einheitsmatrix ist, gilt.

Kommentar von Nolt123 ,

Eigentlich schon.

Kommentar von amdphenomiix6 ,

Was ist denn dann genau deine Frage? Kann sie irgendwie nicht richtig aus dem Text raus filtern.

Kommentar von Nolt123 ,

Ich meinte ob man zur Berechnung der Vektoren u (welche ja bereits eine Orthonormalbasis bilden wenn diese spaltenweise dastehen bzw eine orthogonale Matrix U) die Eigenvektoren der symmetrischen Matrix B benutzen muss(die zu den Eigenwerten von B gehören die ja = die Singulärwerte sind bei einer symmetrischen Matrix B) oder in dem Fall anders rechnen muss?
Normalerweise bestimmt man ja die Vektoren u ( für nicht symmetrische Matrizen z.B. A mit der Formel

u=1/Singulärwert(wobei Sw=Wurzel der Eigenwerte von Atransponiert*A) *A*v(wobei v Eigenvektor zum Eigenwert der Matrix Atransponiert*A ist)


Kommentar von amdphenomiix6 ,

Wenn du die Eigenwerte schon bestimmt hast, kannst du sie natürlich auch für weitere Berechnungen benutzen. Klingt alles sehr nach der bösen Linearen Algebra 2, insofern kann ich dir keine 100% Richtigkeit garantieren ;) Soweit ich die Definitionen aber nochmal überflogen habe, dürfte nichts dagegen sprechen

Kommentar von Nolt123 ,

Also ist meine Vermutung richtig dass ich die Eigenvektoren der Matrix B selbst brauche?

Und ne, nicht LA 2, sonder LA 1 für Elektrotechnik. Haben viel Mathe, aber Mathe studieren wollte ich nicht.

Kommentar von amdphenomiix6 ,

Ich würde deiner Vermutung zustimmen. Jedoch ist sowas für lineare Algebra 1 schon hart, meiner Meinung nach :O

Kommentar von Nolt123 ,

Naja wir haben ja keine Beweise usw, ist halt eher mehr rechnen mit Zahlen und bisschen Begründungen...war schon harter Brocken vorallem weil der Prof/Übungsleiter schlecht erklärt haben und ich mir alles selbst beibringen musste. Aber naja...

Kommentar von amdphenomiix6 ,

Eventuell sind deine Fragen besser auf mathepedia oder mathe-online aufgehoben, da hier wohl die wenigsten ein abgeschlossenes Mathestudium aufweisen können.

Kommentar von Nolt123 ,

Dann werd ich mal dort versuchen mich schlau zu machen oder dem Prof ne Mail zu schreiben. Oder hoffen dass noch jemand dazu etwas weiß. Trotzdem danke .

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