Frage von 17Julia98, 40

Frage zur Schnittpunktberechnung von zwei Geraden?

Wenn man in der Geometrie Oberstufe den Schnittpunkt zweier Geraden in Parameterform ermittelt, setzt man beide Geradengleichungen gleich. Dann erhält man drei Teilgleichungen und ermittelt dann lamda bzw. Mü ( die griechischen Buchstaben wenn ihr wisst was ich damit meine :D). Soweit kann ich auch alles jetzt ist mir beim üben aber der Fall untergekommen dass lamda rausgefallen ist und mir blieb 0=0

Wenn 7=2 rauskommt ist mir der Fall klar die Gleichung ist unwahr und damit gibt es keinen Schnittpunkt. Bei null gleich null frage ich mich jetzt: gibt es auch keinen Schnittpunkt also sind sie Windschief oder wie rechne ich damit jetzt weiter?

Grundsätzlich bin ich in mathe eigentlich einigermaßen gut das heißt die Grundthematik ist mir bekannt und ich nutze das auch nicht als Lernplattform einen tag vorm Abi aber wie gesagt dieser Fall ist mir irgendwie unklar und auch meine KlassenKameraden sind sich nicht einig.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe, 27

0=0 bedeutet, dass beide Geraden identisch sind. Es gibt unendlich viele "Schnittpunkte", besser: gemeinsame Punkte.

Kommentar von 17Julia98 ,

hm aber hätte ich das mit dem rechenschema nicht schon vorher durch die Abhängigkeit der Richtungsvektoren merken müssen? oder bin ich da jetzt total falsch?

Kommentar von Suboptimierer ,

Richtungsvektoren hin oder her. Das ist nur eine andere Darstellungsform.

Zwei Geraden bilden ein lineares Gleichungssystem. Keine Lösung bedeutet, dass sie parallel verlaufen, eine Lösung bedeutet, dass sie sich in genau einem Punkt schneiden, unendlich viele Lösungen bedeuten, dass sie übereinander liegen (gleich sind).

Wann du bemerkst, dass es unendlich viele Lösungen gibt, überlasse ich deinem geschulten Auge.

Kommentar von Comment0815 ,

Doch, die Richtungsvektoren müssten Vielfache voneinander sein, aber nicht unbeding identisch. Aber auch der Stützvektor kann sich unterscheiden.

Es ist also nicht unbedingt leicht zu erkennen, ob zwei Geraden identisch sind, weil sich sowohl Stütz- als auch Richtungsvektor unterscheiden können. Es ist aber leicht zu errechnen. Genau deshalb rechnest du es ja auch. Und wenn du "unterwegs" keinen Fehler gemacht hast kannst du dich schon auf dein Ergebnis verlassen.

Kommentar von rumar ,

Je nachdem, wie man im Detail mit den vorliegenden Gleichungen "umsprinpt", könnte man durchaus auch auf die Gleichung "0=0" gelangen, auch wenn die beiden Geraden nicht identisch sind !

Kommentar von Suboptimierer ,

Das sollte nicht möglich sein. Hier wäre ich dir für ein x-beliebiges Beispiel dankbar, bei dem man für ungleiche Geraden auf 0=0 kommt.

Antwort
von rumar, 4

Hallo Julia,

ich möchte nur eine (wichtige) Bemerkung zu deiner Ausdrucksweise anbringen:

Du schreibst: "Wenn man in der Geometrie Oberstufe den Schnittpunkt zweier Geraden in Parameterform ermittelt, setzt man beide Geradengleichungen gleich."

Dies ist falsch oder wenigstens irreführend. Richtig wäre:  " ..... , dann sucht  man die Lösungen des aus den beiden Parametergleichungen bestehenden Gleichungssystems."

Das mag etwas umständlicher klingen, ist aber korrekt.

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 22

Zuerst prüfst Du die Richtungsvektoren auf Kollinearität, also ob der eine ein Vielfaches des anderen ist.

Ist das nicht der Fall, berechnest Du anschließend Lambda und Mü mit Hilfe von zweien der drei Gleichungen und setzt die Ergebnisse in die dritte verbliebene Gleichung ein und prüfst auf Wahrheit der Gleichung.

Kommt eine wahre Aussage raus, hast Du einen Schnittpunkt, bei falscher Aussage sind die Geraden windschief.

Sind die Richtungsvektoren kollinear, setzt Du eine Gleichung mit dem bekannten Punkt der zweiten Geraden gleich, und rechnest Lambda aus (oder Mü je nachdem welche Geradengleichung Du nimmst). Ist Lambda (oder Mü) in allen drei Gleichungen gleich, sind die Geraden identisch, sonst parallel.

Kommentar von 17Julia98 ,

super vielen dank! so dachte ich es auch und 0=0 ist ja eine wahre aussage :)

Kommentar von Rhenane ,

Am Besten zur Probe noch die errechneten Werte für Lambda und Mü in die entsprechenden Gleichungen einsetzen und hoffen, dass in beiden Fällen der gleiche Schnittpunkt rauskommt :)

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