Frage von mlgneumann, 56

Frage zur Nullstellenbestimmung?

Ich habe eine Frage zur Nullstellenbestimmung (speziell: Polynomdivision) bei folgendem Term: g(u)= u^5 - u^3 + 8u^2 - 8

Diese Funktion dürfte maximal 5 Nst haben. Als Lösung sind (-2) und (-1) (beide einfache Nullstellen) angegeben. Das kann doch nicht sein, oder? Was sind die Nullstellen und wie bestimmt man diese in diesem Fall?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ELLo1997, 28

Du kannst in diesem Fall, also wenn die beiden Nullstellen schon im Voraus bekannt sind, Polynomdivision machen. Und zwar zuerst mit (u + 1) und dann mit (u+2).
Dann kommst du auf das Polynom u³  - 3u² + 6u - 4.
Von diesem gilt es nun wieder Nullstellen zu raten, und das am Besten mit den ganzzahligen Teilern vom absoluten Glied (-4). Dann kommt man schließlich auf die 3. Nullstelle, welche u = 1 wäre.
Lg

Kommentar von mlgneumann ,

Aber dann wäre doch die vollständig faktorisierte Form das Ausgangsterms: (u+1)(u+2)(u-1). Doch wenn ich dort zb 5 einsetze, erhalte ich 168, etwas anderes als beim Ausgangsterm. Das kann doch nicht sein, oder übersehe ich da was?

Kommentar von ELLo1997 ,

Nicht ganz, du hast noch 2 komplexe Nullstellen. Wenn du das Polynom 3. Grades nochmals mit (u-1) polynomdividierst, solltest du eine quadratische Gleichung erhalten, mit deren Hilfe du diese berechnen könntest.

Kommentar von ELLo1997 ,

Habs schnell ausgerechnet, die vollständige Faktorisierung wäre:
(u+2)(u+1)(u-1)(u-1-i√3)(u-1+i√3)

Antwort
von ELLo1997, 26

Genau genommen hat ein Polynom vom Grad n immer genau n Nullstellen (siehe Fundamentalsatz der Algebra). Das Problem ist nur, dass bei einem Polynom als Funktion nur die reellen Nullstellen wirklich "sichtbar" sind anhand des Graphen.
Bei einem Polynom vom 5. Grad gibts für die Nullstellen leider keine Formeln mehr, dh man muss endweder raten oder Näherungsverfahren verwenden (oder natürlich Computer verwenden).
Lg

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 15

Merke: Lehrer wollen immer nur "glatte einfache Nullstellen", damit man dann leicht mit der Polynomdivision weitermachen kann.

Hier ist gleich die erste und einfachste Stelle x1=1 passend.

(bei krummen Werten kann man z.B. mit dem Newton -Verfahren suchen)

Ja, es gibt immer n Nullstellen -> es ist nur eine Frage, ob diese doppelt (übereinander) oder vom Typ reell oder komplex (realteil + Imaginärteil * i) sind.

Bei Dir führt x²-2*x+4=0 per pq-Formel zu einer negativen Wurzel, die untere Klassenstufen als "nicht lösbar" und höhere Klassen als komplexe Lösung angeben.

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

kann das bis Grad 6.

Zusatzhinweis für interessierte:

Es gibt für Polynome folgenden Grades exakte explizite Lösungen:

2: pq-Formel

3: PQRST-Formel (mit komplexen Variablen) oder Cardanische Formeln mit Fallunterscheidungen

4: PQRSTUVW-Formel (mit komplexen Variablen)

5: wenige Sonderfall-Lösungen

https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichung_f%C3%BCnften_Grades

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 24

mit -1  machen und gucken;

Antwort
von rukkk, 17

Hier hast du den Graph dazu ;)

https://www.google.de/search?q=(x%5E5)-(x%5E3)%2B(8x%5E2)-8&ie=utf-8&oe=utf-8&client=firefox-b-ab&gfe_rd=cr&ei=pmJoV4LqM8WK8Qf5qIGoAQ

Kommentar von rukkk ,

https://www.google.de/search?q=(x^5)-(x^3)%2B(8x^2)-8

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