Frage von Arinin, 40

Frage zur Mathematik; Zahlenfolge?

Ich bereite mich gerade auf die letzte Matheprüfung nächste Woche vor. In dieser kommt der ganze Stoff vor, den wir in den letzten zwei Jahren bearbeitet haben.

Nun versuche ich die Themen vorzubereiten, in denen ich sehr schlecht war, wie eben zum Beispiel "Sequences and Series".

Es geht hier mal um diese Reihe:

480 , 240 , 120, 60, 30....

Für die explicit formula habe ich: U(n) = 480/(2)^n-1

Diese scheint jedenfalls zu stimmen

Aber nun brauche ich ebenfalls die recursive formula und da habe ich keinen blassen Schimmer. Kann mir da jemand helfen? Es wäre auch hilfreich zu wissen, wie man das überhaupt herausfinden kann, denn ich bin recht überfordert mit dieser...

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 3

Versuche, U(n+1) durch U(n) auszudrücken.

(Oder gleichwertig, U(n) durch U(n-1).)

(Erstmal Korrektur des Tippfehlers: U(n) = 480/2^(n-1))

-- offensichtlich läuft hier n ab 1. (Sorry, in der Computertechnik zählt man grundsätzlich ab 0; das hat übrigens auch in der Mathematik gewisse Vorteile.)

Die Bildungsformel für n+1:

U(n+1) = 480 / 2^((n+1)-1) = 480 / 2^n

Die Bildungsformel für n:

U(n) = 480 / 2^(n-1)

Mit etwas Erfahrung sieht man, dass man am besten einen Quotient bildet, um eine Beziehung zwischen U(n+1) und U(n) zu erhalten, in der n ansonsten nicht vorkommt.

Sonst kann man z. B. versuchen, möglichst alles neben dem n herauszuziehen:

U(n) = 480 / (2^n * 2^(-1)) = 480 / 2^(-1) / 2^n = 480 * 2 / 2^n

Jetzt sieht man unmittelbar, dass der Term 2^n in den Ausdrücken für U(n+1) und U(n) auftritt. Jetzt können wir nach diesem Ausdruck auflösen und einsetzen - übersichtlicher ist vermutlich Substitution:

z := 2^n

Ich löse die erste Gleichung nach z auf, da sie kürzer ist - da ist zu erwarten, dass das Auflösen weniger Arbeit macht:

U(n+1) = 480 / 2^n = 480 / z

z = 480 / U(n+1)

Einsetzen in die 2. Gleichung:

U(n) = 480 * 2 / z = 480 * 2 / (480 / U(n+1))

Auflösen des Mehrfachbruchs:

U(n) = (480 * 2 * U(n+1)) / (480 ) = 2 * U(n+1)

Üblicherweise gibt man Rekursionsformeln als Ausdruck für das Glied mit dem höheren Index an - also diese Gleichung nach U(n+1) auflösen:

U(n+1) = 1/2 U(n)

Fertig.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 18

Rekursiv ist doch einfach: a_0 = 480, a_i+1 = a_i/2

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