Frage von anno110, 73

Frage zum Thema Ableitungen?

Hallo Leute,

ich stehe bei folgender Aufgabe (siehe Bild) eine Herausforderung:

Mittlerweile weiß ich, dass die Wurzel raus muss und die Aufgabe umgeschrieben werden muss und zwar so:

f(x)=ln((1+x)^(1/2)/(1-x)^(^1/2))

f(x)=ln((1+x)^(1/2)*(1-x)^(-1/2))

f´(x)=1/((1+x)^(1/2)(1-x)^(-1/2))

Jetzt muss ich wohl noch mit der Produktregel multiplizieren und da ist der Hänger. Wie soll das aussehen?

Über eure Hilfe würde ich mich richtig doll freuen.

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 14

Du kannst auch schreiben:

f(x)=ln( ((1+x)/(1-x))^(1/2) ) = 1/2 * ln((1+x)/(1-x))
     =1/2 * (ln(1+x) - ln(1-x))

f'(x)=1/2 * (1/(1+x) - 1/(1-x)*(-1)) = 1/2 * ((1-x)+(1+x))/(1-x²))
      =1/2 * (2/(1-x²)) = 1/(1-x²)

Kommentar von anno110 ,

Ist dass die bessere Schreibweise?

Ich habe immer noch das Problem, dass ich nicht genau wie wie es weiter geht. Ich habe drei unterschiedliche Lösungsansätze bekommen und bin jetzt komplett raus.

Kommentar von Rhenane ,

Frei nach dem Motto "1000 Wege führen nach Rom" :)

Auf diese Weise musst Du weder eine Wurzel ableiten, noch Produkt-/Quotientenregel anwenden. Nur zweimal den ln ableiten und dabei einmal auf die innere Ableitung achten. Dann kommt nur noch Zusammenfassen...

Kommentar von anno110 ,

der rowal sagt, das dein Ergebnis nicht richtig sei und das mit dem Ableiten auch falsch.

Kannst du verstehen, dass ich deswegen total verwirrt bin, weil jeder behauptet das richtige zu wissen?

Ich danke euch wirklich für eure Hilfe, aber ich möchte einmal komplett wissen was nun der richtige Ansatz ist, mit allen notwendigen Ableitungen. Damit ich das bei meinen anderen Aufgaben auf die gleiche Art und Weise errechnen kann.

Kommentar von Rhenane ,

Dein und Rowals Weg ist mir ehrlich gesagt zu umständlich. Du leitest den ln ab, dann musst Du als innere Ableitung die Potenz ableiten und dann noch deren innere Ableitung (den Bruch) mit der Quotientenregel, usw. usw.

Mein Ergebnis ist richtig, wie auch gilgameschs (er hat nur eben einen negativen Bruch, weil die Summanden im Nenner umgedreht sind).

Rowals Ergebnis hatte ich auch zuerst. Da hatte ich die innere Ableitung von ln(1-x) vergessen, also die (-1)...

Kommentar von anno110 ,

Kannst du mir das Ableiten über die Produktregel nach deinem Rechenschema zeigen, damit ich das Einheitlich habe und dann für mich entscheiden kann, welcher komplette Weg der Ideale ist. Damit ich das bei ähnlichen Aufgaben so abrufen kann.

Ich danke dir vielmals für deine Hilfe und dass du meine Folgefragen so geduldig beantwortest.

Kommentar von Rhenane ,

Bei mir kommt keine Produktregel vor! Vor der Klammer steht ein konstanter Faktor, der beibehalten bleibt. In der Klammer steht eine Summe: hier wird wie bei ganzrationalen Funktionen jeder Summand einzeln für sich abgeleitet; also hier beide ln-Funktionen. Wobei, wie bereits geschrieben, nur auf die innere Ableitung geachtet werden muss...

Der Rest ist nur Zusammenfassen.

Antwort
von Rowal, 17

Also der letzte Ausdruck muss nach der Kettenregel noch multipliziert werden mit der Ableitung von ((1+x)/(1-x))^(1/2)  und hier ist anzuwenden die Potenzregel und dies muss nach der Kettenregel noch mit der Ableitung von 
(1+x)/(1-x) multipliziert werden. Hierbei ist die Quotientenregel anzuwenden. Insgesamt ergibt sich dann die gesuchte Ableitung zu -x / (1-x²) =  x / (x² - 1)


Kommentar von anno110 ,

Ich bin gerade verwirrt.

Kannst du bitte eine Aufstellung machen wie das genau aussehen soll.

Kommentar von Rowal ,

ok, etwas ausführlicher: Zuerst wird ln (y) abgeleitet mit y =
((1+x)/(1-x))^(1/2)
das ist 1 / y , wie du bereits erkannt hast. Dies muss nun nach der Kettenregel mit der Ableitung von y multipliziert werden. Es ist y = z ^(1/2) mit z = (1+x)/(1-x) . Folglich y' = 1/2 z^(-1/2) * z' .
z' errechnet sich nach der Quotientenregel zu -2x / (1-x)² .

Insgesamt erhält man das Ergebnis
y' / y = 1 /y * 1 / 2 * (1+x)/(1-x))^-(1/2) * (-2 x) / (1-x)²
= ((1-x)/(1+x))^(1/2) * 1/2 * ((1-x)/(1+x))^(1/2) * (-2 x) / (1-x)²
= (1-x)/(1+x) * (- x) / (1-x)²
= (- x) / ((1+x) * (1-x)) = -x / (1-x²)

Schneller geht es allerdings, wenn man den Logarithmus gleich vor der Rechnung zerlegt, wie es @gilgamesch4711 vorgeschlagen hat, nur ist da ein Rechenfehler enthalten. Man hat

f(x) = 1/2 [ ln ( x + 1 ) - ln ( 1 - x ) ]

nach @gilgamesch4711.  Jetzt braucht dann nur noch
ln ( x + 1 ) und ln ( 1 - x ) ableiten.

Kommentar von Rhenane ,

z=(1+x)/(1-x)
z'=(1*(1-x) - (1+x)*(-1)) / (1-x)² = (1-x+1+x)/(1-x)² = 2/(1-x)²

und NICHT -2x/(1-x)²
Denke mal irgendwo hast Du einen Vorzeichenfehler drin...

Kommentar von anno110 ,

Rhenane und gilgamesch4711 behaupten, dass du den Rechenfehler hättest.

Kannst du mir bitte noch aufzeigen, wie ich ln (x + 1) und ln (1 - x) nach deinem Rechenschema ableite. Deine Erklärungen sind für mich nachvollziehbarer.

Kommentar von Rowal ,

Aber selbstvertändlich:
Leiten wir zunächst ln(x+1) ab. Setzen wir y=x+1, so haben wir:
[ln(x+1)]' = [ln(y)]' = 1/y * y'.

Es ist y' =[x+1]' = 1 also
[ln(x+1)]' = 1 / y = 1 / (x+1)

Nun zu ln (1-x): Setzen wir 1-x = z so haben wir
[ln (1-x)]' = 1/z * z'.
Es ist z' = [1-x]' = -1, also [ln (1-x)]' = -1/(1-x)

Zusammengesetzt:
f'(x) = 1/2 * ( 1/(x+1) - (-1/(1-x))) = 1/2 * (1/(x+1) + 1/(1-x))
Bringt man das jetzt auf Hauptnenner hat man
1/2 * ((x-1) + (x+1)) / ((x+1)(1-x))
= 1/2 * 2x / (1-x²) = x /(1-x²)

Übrigens siehst du, dass @Rhenane mit seinem Kommentar recht hat, ich habe da einen Fehler gemacht. Berücksicht man dies, kommt auch oben x /(1-x²) heraus.

Kommentar von Rowal ,

Also ich habe gerade bei erneuter Durchsicht festgestellt, dass ich wieder einen Fehler gemacht habe. Offensichtlich bin ich heute unkonzentriert.

Es ist
1/(x+1) + 1/(1-x) = ((1-x) + (x+1))/ (1-x²) = 2 / (1-x²)

Insgesamt also

f'(x) = 1 / (1-x²)

Antwort
von gilgamesch4711, 4

 Zu deinem Kommentar; ===> logaritmisches Differenzieren, eine Form des ===> impliziten Differenzierens, gibt es ja hoch offiziell. Wie würdest du z.B. verfahren mit

                                    x ³

   y  =  f ( x ) =   ----------------------------   |  ln       (  3.1  )

                           ( x - 1 ) ^ 4 711

    Die Quotientenregel, die ich bei euch unten auch schon wieder gesehen habe, ist ABSOLUT TÖDLICH; ihr müsst sie MEIDEN WIE DIE PEST .  Logaritmieren erniedrigt die Rechenstufe:

   ln  (  y  )  =  3  ln  (  x  )  -  4 711 ln  (  x  -  1  )   (  3.2a  )

   y  '  /  y  =  3  /  x  -  4 711 /  (  x  -  1  )    (  3.2b  )

   Bekannt ist ja

   y  =  f  (  x  )  :=  x  ^  r  ;  r  €  |R      (  3.3a )

            hat Ableitung

      y  '  =  f  '  (  x  )  =  r  x  ^  (  r  -  1  )     (  3.3b  )

   1) Hast du je einen Beweis von ( 3.3b ) gesehen?

   2) Hast du je  ein Bedürfnis verspürt nach einem einheitlichen Beweis, der allen r gerecht wird? Schau doch mal in deine Unterlagen , welche Klimmzüge für welche Sonderfälle ihr euch ausgedenkt habt.

   " Verstanden " haben wir es aber erst, wenn es uns gelingt, für alle r einen Zweizeilenbeweis hinzuschreiben. Wie würde im Falle ( 3.3a ) logaritmisches Differenzieren aussehen?

Antwort
von UlrichNagel, 29

Potenzregeln anwenden: Ln x/y = lnx - lny !

Kommentar von anno110 ,

warum denn jetzt die Potenzregel?

War es richtig die Werte erstmal zu umschreiben und dann die Wurzel rauszunehmen?

Kommentar von UlrichNagel ,

Potenz-, Wurzel- und Logarithmengesetze ist alles das Gleiche! Wurzeln hast du richtig in Potenz umgeformt und nun sollst du nach Potenzgesetz ln x/y = lnx - lny in 2 Glieder umformen und beide Glieder extra ableiten!

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