Frage von jf20011, 43

Frage zu Wurzeln?

Hallo. Wir schreiben nächste Woche Montag eine Klassenarbeit in Mathe. Thema sind Potenzen und Wurzeln. Heute haben wir mit den Wurzeln angefangen, und ich verstehe die Einschränkungen des Lehrbuchs und meiner Lehrerin nicht. Im Lehrbuch steht, dass allgemein aus keiner negativen Zahl irgendeine Wurzel gezogen werden kann. Es wird damit begründet, dass man damit leichter Einschränkungen machen kann. Das kann ich noch einigermaßen nachvollziehen. Unsere Lehrerin hat uns dazu noch (ihrer Logik nach) erklärt, dass man auch die (2n+1)-te Wurzel aus einer negativen Zahl nicht ziehen kann, nur wenn anstatt z.B. (-8)^(1/3) = x stünde x^3 = -8. Da Potenzieren und Wurzelziehen aber Umkehroperationen sind, ergibt das m. E. absolut keinen Sinn. Das wäre ähnlich wie: Man kann zwar -8×3 = x rechnen, aber 1/3 × x =-8 darf man auf keinen Fall rechnen. Ist das nicht paradox? Wir haben z.B. auch (-8)^(1/3) in den Taschenrechner eingegeben. Der Taschenrechner zeigte -2 an. Deshalb behauptete sie sofort: Man darf nicht immer alles vom Taschenrechner abschreiben. Der hat auch nicht immer Recht. In anderen Quellen im Internet (auch wenn man dem Internet nicht immer glauben darf), u.a. Wikipedia, steht ja auch, dass es eigentlich möglich ist, die (2n+1)-te Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen. Neben dem gibt es laut unserer Lehrerin keine erste Wurzel (verstehe ich ja, die Bezeichnung wäre ziemlich komisch), aber man kann statt n-te Wurzel aus x ja auch x^(1/n) schreiben. Damit wäre die erste Wurzel aus x gleich x^1 = x. Wenn das alles richtig sein sollte, darf es dann als falsch bewertet werden, wenn man die Lösung anders aufschreibt als das Lehrbuch bzw. die Lehrerin vorgibt? (Mir ist bewusst, dass es die komplexen Zahlen gibt, und ich weiß, wie man mit ihnen rechnet, aber die sind ein anderes Problem. Da käme es ja dann darauf an, ob unsere Lehrerin in der Klassenarbeit den Zahlenbereich vorgibt oder nicht.)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Schule, 4

(-8)^(1/3) = ³√(-8) = -2             denn (-2)³ = -8

Das geht schon,  aber
(-9)^(1/2) = √(-9)  ±3             denn sowohl 3² = +9   als auch  (-3)² = +9

Du hast es schon früher mit einer wichtigen Einschränkung der Umkehrrechnung zu tun bekommen, nämlich bei der 0 bezüglich Multiplikation:

4 * 3  = 12          und      12 / 3  = 4        aber
4 * 0  =   0        jedoch     0 / 0  ≠  4
Es könnte jede Zahl herauskommen.
Deshalb darf man nicht durch Null dividieren.

Der Unterschied ist: jetzt sind es einige mehr, die man bei Umkehrung hier und da nicht benutzen darf. Man sagt dann aber nicht, das ist unlogisch (ist es nämlich nicht), sondern:

es gibt einen bestimmten Definitionsbereich, wo etwas gilt.

Du wirst bald noch sehr viel mehr Definitionsbereiche kennen lernen.
 
    

Antwort
von skjonii, 27

Also ich glaube das ist eine mathematische Definition und nicht zwingend hundert Prozent logisch. Man darf ja auch nicht
: 3/0
rechnen, aber
x 0/3
Ich denke 2te Wurzel von ... ist so gesehen dasselbe wie Betrag von ... ^1/2.
Die erste Wurzel gibt es ja dann von der Logik her auch, die ist nur einfach sich selber.

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 19

Natürlich kannst Du die "ungeraden Wurzeln" einer negativen Zahl ziehen.
n.Wurzel aus y=x bedeutet: "Welche Zahl x muss man n-mal mit sich selbst multiplizieren, damit y rauskommt.

3.Wurzel(-8)=-2
denn: -2 * (-2) * (-2) = -8

Bei "geraden Wurzeln" gehts nicht. Multiplizierst Du negative Zahlen 2,4,6,... -mal mit sich selbst, kommt immer eine positive Zahl raus.

Antwort
von Dogukann, 22

So mal ganz allgemein:
Wenn du zwei negative Zahlen miteinander multiplizierst kann keine negative rauskommen. (Reell)
√-2 = Error (ohne komplexe Zahlen)

Aber natürlich kann man die dritte Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, denn:

√(-8) = -x * -x = +
aber
³√(-8) = -x * -x * -x = -

Allgemein:

(-n^x), wobei x ungerade, dann Vorzeichen wieder negativ
(-n^x), wobei x gerade, dann Vorzeichen invertiert(!)

Komplex:
√(-2) = i√2, das ist etwas anders, da geht das..

Gruß

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