Frage von rambo32K, 85

Frage zu Reihen in mathe?

die Reihe ,, Summe von n=1 bis unendlich über 7^(3*n) / (n^2+ 1)! Konvergiert laut musterlösung, hab aber was anderes raus. Was ist falsch in meiner Rechnung? Darf man das nicht so machen? Ich hab zwar die musterlösung mit quotientenkriterium verstanden aber meine ist doch auch richtig, aber es kommt was anderes raus. Ich würde mich sehr freuen über eine hilfreich Antwort. Das ist gerade wie ein Kulturschock für mich. Tadellose Rechnung aber falsches Ergebnis.

Antwort
von YanMeitner, 39

Der Fehler liegt relativ am Ende, im Nenner. Du benutz dort ja die Tatsache, dass jeder der einzelnen Wurzelterme für große n beliebig nahe an 1 rankommt. Leider gibt es durch die Fakultät aber immer mehr dieser Terme, das heißt man könnte sagen dieser Effekt wiegt den anderen auf und sorgt dafür, dass der Nenner nicht gegen 1 strebt.

Hoffe, ich konnte dir helfen.

Kommentar von rambo32K ,

Danke hab jz meinen Fehler verstanden :)

Kommentar von YanMeitner ,

Das ist gut. Sowas lässt einen sonst echt nicht in Ruhe... ^^

Antwort
von Bonanca1302, 32

"Tadellose Rechnung" ist in meinen Augen nicht ganz richtig.

klar, GERECHNET hast du grundsätzlich richtig, aber du hast einen SEHR groben abschätzungsfehler gemacht.

Du hast gesagt dass (n^2 + 1)! ^(1 / n)  gegen 1 konvergiert. Das ist leider nicht richtig (kannst dir ja mal ein paar werte anschauen http://www.wolframalpha.com/input/?i=(n%5E2%2B1)!+%5E(1%2Fn)+,+n+%3D+10)

Klar, jeder EINZELNE Faktor geht gegen 1 (von oben!!), du hast aber insgesamt n^2+1 Faktoren. Was da bei unendlich^2+1 Faktoren passiert, kannst du dir in deinem Kopf vllt aufmalen.

Der Fehler liegt also in der falschen Abschätzung des (unendlichen) Produktes.
Zu dem Produkt müsstest du einen tatsächlichen Grenzwert berechnen, d.h. du müsstest erstmal für das Produkt selbst die Konvergenz beweisen.

Antwort
von ZyrranM, 26

Hallo,
also die n-te Wurzel aus n^2 ist doch n, oder nicht :)?
Dann geht die Folge für n gegen unendlich gegen Null, somit konvergiert die Reihe.

Kommentar von Bonanca1302 ,

Nein, die n-te Wurzel aus n^2 konvergiert gegen 1. Das war schon richtig.

Kommentar von ZyrranM ,

Oh natürlich, sry. Habe irgendwie gedacht da stünde n^n.
Ignoriert meinen Beitrag 

Antwort
von leon31415, 8

am Ende liegt der Fehler. Die Abschätzung ist falsch.

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