Frage von Nickinho, 21

Frage zu Mathematik hü?

Hallo Community, Ich soll bei einem Beispiel eine Gleichung von Grad 3 angeben, die eine negative und zwei positive Lösungen besitzt. Wie geht das und wie kann ich im allgemeinen eine Gleichung vom Grad 3 mit einer bestimmten Anzahl an Lösungen und positiv oder negativ angeben? Bitte helft mir.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Volens, Community-Experte für Gleichungen & Mathematik, 2

Potenzgleichungen haben Eigeheiten, über die man Bescheid wissen muss.
So ergibt sich bei f(x) = x³ + bx² + cx  d
aus d allein die Menge aller Lösungen für Nullstellen wegen der so gennannten Linearfaktoren. Das sind Terme der Form
(x minus Lösung),
und zwar so:
(x - x1) (x - x2) (x - x3) = d

Es kommt noch besser:
die Lösungen bleiben dieselben, wenn du die Nullstellenform der Gleichung mit einem Faktor multiplizierst oder dividierst.
ax³ + bx² + cx + d = 0       (Die Koeffizienten sind jetzt nicht dieselben!)

Das gilt für alle, nicht nur für die vom 3. Grad, aber dafür brauchst du es.

Nimm also drei Zahlen, die z.B. 4, 5, -2 heißen,
bilde daraus die Linearfaktoren (x - 4), (x - 5) und (x + 2),
dann weißt du schon, dass d = 40 sein wird.

Sodann kannst du noch eine 5 oder 1/2 davorschreiben. Die Gleichung wird dieselben Lösungen haben, nur das d wird dann anders sein, weil du es ja mit a multiipliziert haben wirst.

Wenn du eine solche Gleichung gegeben bekommst, kannst du die Nullstellen gleich abschreiben. Gewöhnlich ist die Gleichung aber implizit, also ausgerechnet. Bei dir z.B. mit Faktor 1/2

f(x) = 0,5x³ - 3,5x² + x + 20           wegen 0,5 ist d = 20 (Hälfte von 40)

Basteln kannst du solche Gleichungen in jeder Lebenslage.

Kommentar von Nickinho ,

Danke :)

Antwort
von Kofun, 8

Eine Gleichung 3.Grades sieht im allgemeinen so aus: 

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Jetzt musst du nur noch die Koeffizienten a-d entsprechend wählen um 3 verschiedene Lösungen für x zu erhalten! Je nachdem wie du die Koeffizienten wählst erhältst du andere Lösungen!

Hoffe das hilft!! ;)

LG

Kommentar von Nickinho ,

Und wie wähle ich die koeffizienten so, dass ich eine negative und zwei positive Lösungen bekomme?

Antwort
von ProfFrink, 11

Das funktioniert mit den so genannten Linearfaktoren

(x + a) · (x - b) · (x - c) = 0

Denk Dir für a, b, c irgendwelche Zahlen aus. Dann muss Du das ganze natürlich noch ausmultiplizieren.

Kommentar von Nickinho ,

Und wie wähle ich die koeffizienten so, dass ich eine negative und zwei positive Lösungen bekomme?

Kommentar von ProfFrink ,

Als Albert Einstein seine allgemeine Relativitätstheorie entwickelt hat, da gab's noch kein gutefrage.net. Darum findet man in seinen Aufzeichungen immer wieder den Satz:

"Weiteres Nachdenken ergab...".

Das ist nun von Dir auch verlangt. Denk Dir ein paar einfache Zahlen a, b, c aus und dann setz mal die vermuteten Lösungen ein. Dann wirst Du sehen.

Kommentar von Nickinho ,

ok, danke

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