Frage von KannKeinMathe69, 16

Frage zu Häufungswerten und Teilfolgen?

Alles klar ich hänge an zwei Fragen auf meinem Matheblatt fest und brauche Hilfe:

1) (a_n) ist eine reelle Folge und (b_n) ist eine Folge in der Menge der Häufungswerte H(a_n). (b_n) konvergiert gegen b_0. Beweisen Sie, dass b_0 ein Element von H(a_n) ist.

2) Zeigen Sie, dass eine Folge (a_n) genau dann gegen a konvergiert wenn jede Teilfolge (a_n_k) wiederum eine gegen a konvergente Teilfolge (a_n_k_j) hat.

Die Aussagen sehen mir logisch aus, aber ich weiß nicht wie ich das angehen sollte deshalb wäre es nett wenn mir jemand helfen könnte. Danke im Voraus.

Antwort
von eddiefox, 6

Hallo,

Zu 1)  (HP = Abkürzng von Häufungspunkt)

Wir wissen, dass jedes b_n ein HP der Folge (a_n) ist. D.h. dass
in einer beliebig kleinen Umgebung von b_n. unendl. viele Folgenglieder
von (a_n) liegen

Es gilt also:

für alle ℇ₁> 0 existiert ein N(ℇ₁) ∈ ℕ so dass für eine Teilfolge (m[n])
natürlicher Zahlen gilt:

n > N(ℇ₁) => | b_n - a_m[n] | < ℇ₁

b_0 ist Grenzwert der Folge (b_n) heisst, dass in jeder noch so kleinen
Umgebung von b_0 alle Folgenglieder von (b_n) in dieser Umgebung
liegen, wenn n nur gross genug ist.

Es gilt also:

für alle ℇ₂> 0 existiert ein N(ℇ₂) ∈ ℕ, so dass giilt:
n > N(ℇ₂) => | b_n - b_0 | < ℇ₂.

Sei N = max { N(ℇ₁), N(ℇ₂) }, ℇ = ℇ₁ + ℇ₂ .
Dann folgt für alle n > N :

| a_m[n] - b_0 | = | a_m[n] - b_n +b_n - b_0 | ≤

| a_m[n] - b_n | + | b_n -b_0 | < ℇ₁ + ℇ₂ = ℇ

D.h. in jeder beliebig kleinen ℇ-Umgebung von b_0 (ℇ₁ und ℇ₂ können beliebig
klein gewâhlt werden) liegen unendlich viele Folgenglieder der Folge (a_n).
Also ist b_0 HP der Folge (a_n), also gilt: b_0 ∈ H(a_n).

Also der Schlüssel bei solchen Sachen ist meist die Dreiecksungleichung.

Du kannst ja mal schauen, ob dir das für die 2) hilft.

Gruß

Kommentar von ralphdieter ,

Du kannst ja mal schauen, ob dir das für die 2) hilft.

Das vermute ich auch; aber ich sehe nicht, wie das gehen könnte...

Antwort
von ralphdieter, 4

zu 1)

Häufungspunkt h ⇔ In jeder 𝜀-Umgebung von h tummelt sich mindestens ein aₙ.

Grenzwert b₀ ⇔ In jeder 𝜀-Umgebung von b₀ liegen fast alle bₙ.

Also für 𝜀>0: In der 𝜀/2-Umgebung von b₀ liegt ein bₙ. Dieses ist nach Voraussetzung Häufungspunkt von (a) ⇒ in der 𝜀/2-Umgebung von bₙ tummelt sich also mindestens ein aₘ. Dieses liegt in der 𝜀-Umgebung von b₀, also ist b₀ ein Häufungspunkt von (a). [q.e.d.]

zu 2)

⇒: (aₙ)→a ⇒ Alle Teilfolgen konvergieren ⇒ Alle Teil-Teilfolgen konvergieren (trivial).

⇐: (aₙ) konvergiert nicht gegen a ⇒ es gibt eine Teilfolge, die komplett außerhalb einer hinreichend kleinen 𝜀-Umgebung von a liegt: Weil diese Umgebung nicht "fast alle" aₙ enthält, kommt hinter jedem Ausreißer aₙ noch ein weiterer aₙ₊ₖ. Diese Werte bilden unsere böse Teilfolge. Und wegen  |aₙ₊ₖ-a|>𝜀 kann keine ihrer Teil-Teilfolgen gegen a gehen. [q.e.d.]

Das musst Du natürlich noch "stubenrein" ausformulieren :-)

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