Frage von purpleqtx, 49

Fourier-Transformation, welcher Teil kann weggelassen werden?

Hi, bei der Fourier-Transformation ist es doch so, dass ab und zu entweder an oder bn weggelassen werden kann, der einzige Anhaltspunkt, den ich jetzt dazu hab ist folgender: Nimmt man als Beispiel einfach f(x)=x², so kann bn weggelassen werden, weil die Funktion im Definitonsbereich [-π,π] achsensymmetrisch ist und für bn der Sinus integriert wird. Gibt es da eine Regel, wie

Funkion achsensymmetrisch -> punktsymmetrischer Sinus fällt weg

Funktion punktsymmetrisch -> achsensymmetrischer Cosinus fällt weg

oder ähnliches?

Danke.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von PWolff, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Physik, 35

Ja. Und zwar genau, wie du vermutet hast:

Funkion achsensymmetrisch -> punktsymmetrischer Sinus fällt weg

Funktion punktsymmetrisch -> achsensymmetrischer Cosinus fällt weg

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik & Physik, 32

Genau so ist es: Ist f(t) gerade, d.h.

f(-t) = f(t),

dann ist die Fourierreihe von f(t) eine reine Cosinus-Reihe, und

b_k = 0 ∀ k ∈ .

Ist f(t) ungerade, d.h.

f(-t) = –f(t),

so ist die Fourierreihe eine reine Sinus Reihe, und

a_k = 0 ∀ k ∈ N.

Nun lässt sich allerdings zwei jede Funktion in einen geraden und einen ungeraden Anteil verlegen, aber im Allgemeinen sind beide von 0 verschieden.
Im übrigen gibt es auch Funktionen, bei denen eine Fourierreihe

f(t) = ∑_k a_k·cos(ω_k·t) + b_k·sin(ω_k·t)

nicht ausreicht, sondern eine Fouriertransformation

f(t) = ∫dω{f^~(ω)e^{iωt}}

erforderlich ist, wenn sich nämlich f(t) aus einem ganzen Kontinuum von Frequenzen zusammensetzt.
Das sind dann aber i. allg. schon nichtperiodische Funktionen.

Kommentar von SlowPhil ,

Mist! Ich habe die Fehler versucht, sie in den 5 Minuten, die das normalerweise möglich ist, zu korrigieren (auch im Browser des Handys), aber der Versuch, die Maske zu öffnen, aber da erschien anstelle der existierenden Antwort und der Aufforderung zur Änderung eine leere Maske mit der Aufforderung, eine Antwort einzugeben. Dies erfordert also ein

Erratrum: 

  1. In der 2. Gleichung von oben fehlt ein N bzw. ℕ:b_k = 0 ∀ k ∈ ℕ
  2. In der letzten Gleichung muss e^(iωt) durch e^(–iωt) ersetzt werden:f(t) = (2π)^{-½}·∫dω{f^~(ω)·e^{iωt}}

---------------------------

Zur Erklärung der Fouriertransformation

Das i in "iωt" ist keine Variable, sondern die imaginäre Einheit i mit der Eigenschaft

(1) i² = –1.

Diese "Kunst-Zahl i schafft Einheit" (H.Schulz: Physik mit Bleistift, übrigens ein hervorragendes Buch, wenn man Fourier-Transformation verstehen will), denn sie verbindet Exponentialfunktionen mit trigonometrischen Funktionen, was schon L.Euler erkannte und sich in seiner Formel

(2) e^{iα} = cos(α) + i·sin(α)

ausdrückt. Anhand der Reihendarstellungen der trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion lässt sich (2) verifizieren. Es ist aber auch

(3.1) cos(α) = (1/2)·(e^{iα} + e^{–iα})
(3.2) sin(α) = (-i/2i)·(e^{iα} – e^{–iα}),

also gleichsam wiederum eine Aufspaltung in einen geraden und einen ungeraden Teil, der in diesem Fall auch imaginär ist.

Eindeutig eine ganz bestimmte positive Kreisfrequenz ω₀ > 0 ist ganz klar der Funktion

(4) f(t) = e^{iω₀t} = (2π)^{-½}·∫dω{√{2π}·δ(ω–ω₀)·e^{iωt}}

zuzuordnen. Dabei ist die sog. Deltafunktion δ(ω–ω₀) eigentlich eine sog. Distribution, aber ich komme von der Physik und wir nehmen das nicht so genau. Entscheidend ist, dass

(5) ∫dx{δ(x–a) f(x)} = f(a)

ist. Man kann sie sich z.B. als "unendlich" schmale und hohe normierte Gaußfunktion vorstellen.

Die Trigonometrischen Funktionen liefern als Fourier-Transformierte nicht eine, sondern zwei "halbe" Deltazacken ±ω₀, beim Cosinus in dieselbe, beim Sinus in entgegengesetzte Richtungen. 

Antwort
von purpleqtx, 22

Super, ich danke euch. Dass es so ist, wie vermutet, reicht mir schon aus... Dann spar ich mir in der Klausur schon mal fast die Hälfte der Rechnung :P

In der Aufgabe wird es sich wohl auf eine periodische Funktion beschränken, das sollte dann also wirklich reichen :)

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community