Frage von gumpo03, 41

Formelzeichen Pfeil?

Hi. Ich habe eine Aufgabe bei der ich einfach die Formel nicht verstehe. Folgendes ist gemeint:

Betrachten Sie die Funktionen
f : [0, ∞) → [0,∞), x → x + 1,
und
g : [0, ∞) → [0,∞), x → {x − 1, x ≥ 1,
                          0, sonst.}

Untersuchen Sie f, g, g ◦ f und f ◦ g jeweils auf Injektivität und
Surjektivität. Begründen Sie Ihre Antworten!

Nun zu dem was ich nicht verstehe: Was bedeutet dieser Punkt bei"... Untersuchen sie f, g, g ◦ f und f ◦ g"? Was bedeutet das "sonst."? Und was hat es generell mut g auf sich? Auf dem Aufgabenzettel wird es über 2 Zeilen geschrieben wobei "x − 1, x ≥ 1," auf Zeile 1 steht, "0, sonst." auf Zeile 2 und vor dem ganzen ein großes { ist. (Hoffe das ist jetzt einigermaßen verständlich :D)

Danke!

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 33

g ◦ f = g(f(x))

spricht "g nach f".

g wird nach f ausgewertet.

Kommentar von Suboptimierer ,

Mit "sonst." sind alle restlichen Fälle gemeint. In deinem Beispiel sind das alle Fälle, bei denen 0 <= x < 1 ist. Man will vermeiden, dass die Funktionsvorschrift negative Werte erzeugt.

Kommentar von gumpo03 ,

Ok, und was bedeutet das für die Injektivität? F ist ja bspw. Injektiv und Surjektiv. g kann ich jetzt nicht sagen, die Formel verstehe ich ja im Moment noch nicht wirklich. Aber wenn ich nun g nach f auswerte und g ist nicht Injektiv. Ist dann g ◦ f dann injektiv oder nicht.. Oder muss ich die Menge die bei f herauskommt mit der Menge von g vergleichen und nur die, die bei g und bei f vorkommen überprüfen?Könnte man das nicht einfacher mit g ∧ f lösen?

Kommentar von Suboptimierer ,

Hmm, also f ist meiner Meinung nach zum Beispiel nicht surjektiv, weil nicht jedes Element der Zielmenge getroffen wird. Versuch mal, 0,5 zu treffen. Ansonsten einfach nochmal die Definitionen von Injektivität und Surjektivität durchlesen. Ist bei mir auch schon länger her.

g wurde zweigeteilt definiert. die erste Funktionsvorschrift x-1 wird für alle x >= 1 durchgeführt, die zweite, nämlich die Zuweisung des festen Werts 0 für alle anderen x.

Kommentar von gumpo03 ,

Ja, was f angeht hast du Recht. Aber wie ist das nun eigentlich mit 
g ◦ f  oder f ◦ g? Wie gehe ich das am sinnvollsten an?

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