Formel nach t auflösen 5=-0,16*t³+1,4*t²-2,3*t+4,565?

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4 Antworten

Kein Mathe-Lehrer stellt Aufgaben, wo solch krumme Ergebnisse herauskommen -> es sei denn, er will eine Einleitung in Näherungsverfahren

(Bisektion, Newtonsche Näherungsverfahren...).

Mathematiker kennen jedoch analog zur pq-Formel (quadr. Gl.) die exakte PQRST-Formel für kubische Gleichungen. (die kennt jedoch kaum ein Lehrer)

Sie hat im Gegensatz zu den Cardanischen Formeln keine Fallunterscheidung mehr und kann auch komplexe Faktoren. Unter

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

kann man sich beide Formeln mit über 32 Stellen vorrechnen lassen (Bild).

Für x1 schreibe ich mal die Gesamtformel auf:

x1=35/12+1/12 (535/(4301+3 i sqrt(14959086))^(1/3)+(4301+3 i sqrt(14959086))^(1/3))

= 35/12+sqrt(535)*cos(1/3*atan((3 sqrt(14959086))/4301))/6

=6.45940083198291535883454388425696193428897254142342497223...

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Das was du möchtest, ist, die Nullstellen zu berechnen.

5 = -0.16 * t ^ 3 + 1.4 * t ^ 2 - 2.3 * t + 4.565 | -5

-0.16 * t ^ 3 + 1.4 * t ^ 2 - 2.3 * t  - 0.435 = 0

Der linken Seite kannst du eine Funktion zuordnen -->

f(t) = -0.16 * t ^ 3 + 1.4 * t ^ 2 - 2.3 * t - 0.435

Davon berechnest du die 1-te Ableitung -->

f´(t) = -0.48 * t ^ 2 + 2.8 * t - 2.3

Jetzt stellst du erstmal eine Wertetabelle von f(t) auf -->


-10 → 322.565
-9 → 250.305
-8 → 189.485
-7 → 139.145
-6 → 98.325
-5 → 66.065
-4 → 41.405
-3 → 23.385
-2 → 11.045
-1 → 3.425
0 → -0.435
1 → -1.495
2 → -0.715
3 → 0.945
4 → 2.525
5 → 3.065
6 → 1.605
7 → -2.815
8 → -11.155
9 → -24.375
10 → -43.435

Vorzeichenwechel, entweder von + nach - oder von - nach + verraten Intervalle in denen eine Nullstelle liegen muss.

Ein Vorzeichenwechsel liegt bei t = 0, ein weiterer bei t = 3 und noch einer bei t = 7

Nun kannst du das Newton - Verfahren anwenden -->

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Beschreibung des Newton - Verfahrens -->


1.) Wähle einen Startwert für t, den kannst du anhand einer Wertetabelle oder einer Zeichnung der Funktion erhalten.

2.) Berechne -->

z= t - f(t) / f´(t)

3.) Vergleiche z und t miteinander, wenn sie sich zu stark von einander unterscheiden, dann mache weiter, wenn nicht dann springe zu 6.)

4.) Setzt t = z

5.) Springe zu 2.)

6.) Setze t = z

7.) t ist das Endergebnis,beende den Algorithmus jetzt.

Wenn die unabhängige Variable mal nicht t heißt, sondern zum Beispiel x dann gilt dasselbe wie oben, nur eben mit x statt t.

Kommen wir auf dein Beispiel zurück -->

Du hattest die Näherungswerte t = 0 und t = 3 und t = 7

Mit dem Näherungswert t = 0 erhältst du nach 5 Iterationen den Wert t = -0.1709865964093296

Mit dem Näherungswert t = 3 erhältst du nach 4 Iterationen den Wert t = 2.461585764426414

Mit dem Näherungswert t = 7 erhältst du nach 7 Iterationen den Wert t = 6.459400831982915

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Das ist eine kubische Gleichung. Dafür gibt es zwar eine Lösungsformel, die aber extrem hässlich ist: https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln Ich habe deine Gleichung mal in den Computer gegeben und die Lösungen sind auch alles andere als schön - mit Nullstellen raten wird es also auch nichts.

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Kommentar von Dave18
06.01.2016, 18:34

Danke für deine Hilfe! Ich glaub ich lass die Aufgabe aus. da wird mir ja schon schlecht wenn ich die Formel sehe :D

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Am Ende müssen Zahl und Variable auf verschiedenen Seiten sein (getrennt voneinander).

5=-0,16t^3+1,4t^2-2,3t+4,565|-4,565

0,435=-0,16t^3+1,4t^2-2,3t|Nun nach t auflösen mit Wurzelziehen.

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Kommentar von Dave18
06.01.2016, 18:35

Gut gemeint aber von der Unbekannten t die Wurzel ziehen wird schwer 

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Kommentar von UlrichNagel
06.01.2016, 18:39

Welche Wurzel möchtest du denn ansetzen?

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