Frage von hansjuergen96, 51

Formel für Summe finden?

Gegeben ist die Summe:

Sum[ (2k-1)² ] mit k=1 bis n.

Für diese Summe soll eine Formel gefunden werden.

Ich habe die ersten Glieder ausgerechnet, kann aus den Ergebnissen aber leider keine Formel rauslesen.

Ich würde mich über Tipps freuen wie ihr an solche Aufgaben herangeht, oder die Lösung freuen.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 40

Hallo,

wenn Du die ersten vier Punkte (1|1), (2|10), (3|35) und (4|84) für das Newtonsche Näherungsverfahren benutzt, sie also in die Formel
a+b*(x-x1)+c*(x-x1)(x-x2)+d*(x-x1)(x-x2)(x-x3) eingibst, kommst Du auf
f(x)=(4/3)x³-(1/3)x.

a ist dabei immer der y-Wert des ersten Punktes.

Danach rechnest Du b aus, indem Du 1+(x2-x1)b=10 berechnest.

x2-x1=2-1=1

1+b=10, also b=9

Nun kommt c an die Reihe:Diesmal setzt Du für x den Wert von x3, also 3 ein:

1+9*(3-1)+c*(3-1)*(3-2)=35

1+18+2c=35

2c=16

c=8

Nun noch d:

1+9*(4-1)+8*(4-1)(4-2)+d*(4-1)*(4-2)*(4-3)=84

1+27+48+6d=84

6d=8

d=4/3

Nun mußt Du nur noch die Werte für a, b, c und d in die obige Gleichung

a+b*(x-x1)+c*(x-x1)(x-x2)+d*(x-x1)(x-x2)(x-x3) einsetzen:

1+9*(x-1)+8*(x-1)(x-2)+(4/3)*(x-1)(x-2)(x-3), dann alles ausmultiplizieren und zusammenfassen, um am Ende eben f(x)=(4/3)x³-(1/3)x zu erhalten.

Zur Probe gibst Du die ersten vier x-Werte ein. Wenn das Ergebnis auch noch stimmt, wenn Du x5=5 eingibst und 165 herausbekommst, solltest Du die richtige Summenformel gefunden haben. Den endgültigen Beweis liefert Dir die vollständige Induktion.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von hansjuergen96 ,

Besten Dank für die Methode!

Ist es richtig, dass das Newton-Verfahren für alle nichtlinearen Gleichungen benutzt werden kann - also z.B. auch wenn statt einer Summe ein Produkt gegeben ist? 

Kommentar von Willy1729 ,

Ja, sicher. Das Newton-Verfahren liefert Dir ganzrationale Funktionen beliebigen Grades, die sich möglichst eng an eine gegebene Funktion anschmiegen.

Im vorliegenden Fall ist die Funktion, die gefunden wurde, mit der gesuchten Summenformel identisch. Ich hatte dabei vorausgesetzt, daß die Lösung auf eine Funktion dritten Grades hinausläuft und hatte das Glück, daß ich mit meiner Vermutung richtig lag.

Hätte es nicht gepaßt, hätte ich dasselbe einen Grad höher berechnen müssen, also 

a+b(x-x1)+c(x-x1)(x-x2)+d(x-x1)(x-x2)(x-x3)+
e(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4) berechnen müssen.

Willy

Kommentar von PWolff ,

Diese Art von Summen von Polynomen erhöht den Grad von Polynomen um 1. Deshalb funktioniert so ein Verfahren hier immer.

Kommentar von Schachpapa ,

Gewieft :-)

Allerdings stehe ich jetzt ein bisschen auf dem Schlauch. Newton'sches Näherungsverfahren ist doch xneu = x - f(x)/f '(x), oder?

Um eine Funktion 3. Grades durch 4 Punkte zu legen, hätte ich jetzt ein LGS aufgestellt und gelöst (bzw. mit GTR lösen lassen):

a + b + c + d = 1
8a + 4b + 2c + d = 10
27a + 9b + 3c + d = 35
64a + 16b + 4c + d = 84

Das führt zum gleichen Ergebnis.

Kommentar von Willy1729 ,

Das Verfahren gibt es auch; es wird benutzt, um bei ganzrationalen Funktionen höheren Grades Nullstellen zu finden.

Das Verfahren, das ich vorgestellt habe, ist auch nach Newton benannt und dazu geeignet, z.B. solche Summenformeln zu finden.

Du kannst auch Lagrange-Polynome benutzen (dabei verrechne ich mich ständig) oder ein Gleichungssystem aufstellen. Viele Wege führen nach Rom.

Nicht alle Taschenrechner können eine Matrix mit vier Unbekannten lösen (meiner (Casio fx-991DE X) kann es, das Vorgängermodell konnte es nicht). Dann mußt Du entweder das Gauß-Verfahren benutzen und auch herumrödeln oder ins Internet.

Ich denke, es ist immer praktisch, mehrere Methoden auf dem Schirm zu haben. 

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 32

sum(2k-1) = sum(4k²-4k+1)

= 4sumk² - 4sumk + sum1

für k² und k gibts ja Formeln

http://www.matheboard.de/archive/155483/thread.html

dann zusammenfassen

Antwort
von Schachpapa, 44

Wenn man die ersten Glieder der Folge
1, 10, 35, 84, 165

hier https://oeis.org/ eingibt, bekommt man die gleiche Antwort.

Das ist natürlich geschummelt. Wahrscheinlich soll man eine Vermutung haben und die per vollständiger Induktion beweisen, oder?

Kommentar von hansjuergen96 ,

Richtig. 

Der Beweis per vollständiger Induktion stellt kein Problem für mich dar, sondern erstmal auf diese Vermutung/Formel zu kommen.

Da weiß ich leider nicht wo ich anfangen soll.

Kommentar von Schachpapa ,

Das Ergebnis hat Ähnlichkeit mit der Volumenformel für Pyramiden.

Wenn du mit Legosteinen (4er) ein 9x9 Quadrat legst, darauf ein 7x7, 5x5, 3x3 und eine Spitze aus einem Stein hast du eine Pyramide mit Grundfläche (2n-1)^2 und Höhe n, deren Volumen ist (2n-1)^2*n/3

Naja, davon fällt einem das Ergebnis nicht unbedingt vor die Füße. Liegt wohl daran, dass das Lego-Ding eine Stufenpyramide ist.

Antwort
von arschdalf, 51

1/3*(4n^3-n)

Kommentar von hansjuergen96 ,

Wie bist du so schnell darauf gekommen?

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