Frage von roromoloko, 21

Formel Erklärung - harmonische Wellen?

y(x,t) = y_max * sin( w t - 2 pi * (x / lambda))

Ich möchte vor allem verstehen, was der Term 2* pi * (x / lambda) bedeutet :)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Hamburger02, Community-Experte für Physik, 15

y ist hier von 2 Variablen abhängig, der Zeit t und der Stelle x, an der man die Welle betrachtet.

Dementsprechend gibt es auch die beiden Terme, wobei der erste die zeitliche und der zweite die örtliche Abhängigkeit (Phasenverschiebung) angibt.

sin (omega * t) dürfte klar sein.

Für t = 0 fängt die Welle mit Null an, denn sin 0 = 0
Für t = pi/2 ist der Sinus = 1 und es liegt die maximale Amplitude vor.

Nun gibt es aber das Phänomen der Phasenverschiebung, d.h. die Welle fängt bei t = 0 nicht mit y = 0 an, sondern ist ein Stück in x-Richtung verschoben. Diese Verschiebung wird mit dem Term 2 pi * (x / lambda) beschrieben.

2pi ist eine komplette Schwingung und 2 pi * (x / lambda) ist der Anteil einer kompletten Welle, um die die Phase verschoben ist.

Haben wir keine Phasenverschiebung, ist x = 0 und damit wird auch 2 pi * (x / lambda) zu Null und die Wellengleichung ohne Phasenverschiebung wird zu y(t) = ymax * sin (omega * t)

lambda ist die Wellenlänge und wenn wir jetzt mal annehmen, die Phasenverschiebung würde eine viertel Welle betragen, dann ist x = lambda/4, dann ist die Welle um
2pi * 0,25 = pi /2
phasenverschoben.

Damit ergibt sich für t=0
y(t,x) = ymax * sin (-2pi * (lambda/2lambda) ) = sin (-pi /2) = -1

Anbei zum besseren Verständnis eine Skizze...

Kommentar von Hamburger02 ,

Danke fürn Stern.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Physik, 12

Du kannst den Ausdruck

w t

bzw.

ω t

umschreiben zu

2 π t / T

(T = zeitliche Periode)

Dann hast du weitestgehende Analogie zu

2 π x / λ

(λ = räumliche Periode = Wellenlänge)

Wie T angibt, welche Zeit man an einem bestimmten Raumpunkt in der Zeit nach vorn gehen (warten) muss, bis die Welle wieder denselben Zustand hat, so gibt λ an, welchen Weg man an einem bestimmten Zeitpunkt im Raum nach hinten (negatives Vorzeichen) gehen muss, bis die Welle wieder denselben Zustand hat.

Der Vorfaktor 2 π setzt die Ausdrücke t / T bzw. x / λ nur in Radiant um, damit man die Sinusfunktion darauf anwenden kann. (In der Physik berechnet man trigonometrische Funktionen grundsätzlich von Winkeln im Bogenmaß.) Man könnte natürlich auch den Vorfaktor 360° nehmen - das ist dasselbe im Gradmaß.

Kommentar von roromoloko ,

Habe die Formel auch so gelesen:

y(x,t) = y_max · sin ( (2 · π · f · x / λ) - ω · t ) 

Ist die auch richtig..? Wenn ich an den einheitskreis denke dürfte es kaum einen Unterschied machen von den Werten.. Bloß das vorzeichen ist anders :o

Kommentar von PWolff ,

y(x,t) = y_max · sin ( (2 · π · f · x / λ) - ω · t ) 

kann schon wegen der Einheiten nicht richtig sein - f hat die Einheit einer inversen Zeit.

Vermutlich muss es lauten:

y(x,t) = y_max · sin ( (2 · π · x / λ) - ω · t ) 

Das ist - bis auf das Vorzeichen - tatsächlich dasselbe wie der Ausdruck, den du in der Frage genannt hast.

Der Unterschied liegt darin:

Wenn wir uns zur Zeit 0 an den Ort 0 stellen:

Im Ausdruck in der Frage steigt die Welle mit der Zeit an (und fällt mit zunehmendem Ort)

In diesem Ausdruck steigt die Welle mit dem Ort an (und fällt mit zunehmender Zeit).

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik & Physik, 8

Die Gleichung

(1) y(x,t) = y_{max}·sin(ωt − 2π*(x/λ))

ist eine 1D-Wellengleichung, die ich etwas anders kenne, nämlich als

(2) y(x,t) = y_{max}·sin(kx − ωt),

wobei natürlich

(3) k := 2π/λ

ist und auch "Wellenzahl" genannt wird und natürlich in 1/m gegeben wird. Es ist sozusagen die Anzahl der Wellenberge bzw. Wellentäler pro Meter, multipliziert mit 2π - Letzteres deshalb, weil die trigonometrischen Funktionen 2π-periodisch sind und k sozusagen das räumliche Äquivalent zu ω darstellt. Ich würde eher von "linearer Phasen- oder Periodendichte" sprechen, denn die Zahl gibt an, wie viele Perioden auf einem Meter Strecke liegen bzw. wie oft die Phase auf der Strecke "umläuft".

Natürlich können sich Wellen nicht nur entlang von Seilen oder dergleichen ausbreiten, sondern es gibt sie auch als Wasser-, Schall und Lichtwellen, also entlang einer Ebene in 2D oder durch den Raum in 3D. In diesem Fall ist eine Vektorielle Formulierung von (2), nämlich

(4) y(x,t) = y_{max}·sin(⟨k|x⟩ − ωt)

angebracht, wobei ⟨k|x⟩ das Skalarprodukt zwischen dem Wellenvektor |k⟩ und dem Ortsvektor |x⟩ darstellt, dessen Betrag k·x·cos(α) ist (α ist der Winkel zwischen |k⟩ und |x⟩).

--

In der Quantentheorie gibt es nicht nur einen fundamentalen Zusammenhang

(5.1) E = ℏω

zwischen Energie und Kreisfrequenz, sondern auch

(5.2) |p⟩ = ℏ|k⟩

zwischen Impuls und Wellenvektor.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 5

Formel "harmonische Schwingung" y=f(x)= a *sin(w *x + b)

a bestimmt nur die Amplitude

w ist die Winkelgeschwindigkeit in rad/s (nennt man auch Kreisfrequenz)

b ist der "Phasenwinkel , der verschiebt nur die Kurve entlang der x-Achse

b>0 verschiebt die kurve nach links

b<0 verschiebt nach rechts

Bei dir ist b= - 2 *pi * x/Lambda

y( t ,x) bedeutet,das hier 2 unabhängige Variablen vorliegen.

Im Normalfall ist das nur y(x)=f(x) also nur 1 unabhängige Variable.

Antwort
von ELLo1997, 4

Also:

y_max sollte klar sein. Dieser Ausdruck bestimmt die maximale Auslenkung. Dies Funktioniert, da der Sinus normalerweise von -1 bis 1  Werte annimmt.

ωt bestimmt die Ausbreitung der Welle. Du weißt vielleicht, dass ganz allgemein bei einer Funktion der Form f(x - a), die Funktion um den Wert a in Richtung der x-Achse verschoben wird. Im "realen" wird natürlich t immer größer, das heißt die Funktion wird immer mehr/weiter verschoben.

Nun zu 2π * x/λ. Dazu betrachte man zuerst die "ganz normale" Funktion f(x) = sin(2π * x/λ). Diese Funktion hat die Eigenschaft, dass die Periode genau λ beträgt, was bei der Wellenfunktion genau der Wellenlänge entspricht.

Wenn du noch Fragen hast, zögere nicht zu kommentieren.

Lg

Kommentar von roromoloko ,

Ich frage dich dieselbe Frage wie Halswirbelsturm und zwar:

Habe die Formel auch so gelesen:

y(x,t) = y_max · sin ( (2 · π · f · x / λ) - ω · t ) 

Ist die auch richtig..? Wenn ich an den einheitskreis denke dürfte es kaum einen Unterschied machen von den Werten.. Bloß das vorzeichen ist anders :o

Hab noch ne frage weil im buch wird noch ein phasenwinkel phi dazuaddiert aber beschreibt nicht ω · t schon eine Verschiebung?

Kommentar von ELLo1997 ,

In der Form habe ich sie noch nie gesehen. Aber es sei gesagt, dass jede Funktion der Form f(x - ωt) die Wellengleichung erfüllt.

Zu diesem Phasenfaktor Phi: Dieser bestimmt lediglich die Anfangsauslenkung, also zum Zeitpunkt t = 0. Wenn du nur den Sinus oder Kosinus nehmen würdest, könntest du die Welle ja nur endweder bei 0 oder y_max starten lassen.

Kommentar von roromoloko ,

Also könnte man beide Gleicungen verwenden?

Kommentar von ELLo1997 ,

Irgendwie zweifle ich an der anderen Gleichung und zwar deswegen: 2*π*f ist ja gleich ω. Daraus ergäbe sich:
y(x,t) = y_max · sin ( (x * ω / λ) - ω · t ) 
Das hieße aber, dass Omega die Wellenlänge beeinflussen würde. Kann es sein, dass du dich verschaut hast und statt Lambda eigentlich c steht?

Kommentar von ELLo1997 ,

Ach ja und wegen ob sin(wt -kx) dasselbe ist wie sin(kx - wt). Nicht ganz, das eine Schwingt zuerst in positive Richtung und das andere in die negative.

Kommentar von roromoloko ,

hmm hier ist das Video:

https://www.youtube.com/watch?v=6OR0amh1aCs

Am ende und am Anfang sagt er was zur Formel

Kommentar von ELLo1997 ,

Und was genau ist jetz noch unklar?

Antwort
von Halswirbelstrom, 4

Die Wellengleichung der linearen harmonischen Welle lautet nach
meinem Verständnis:

y(x,t) = y_max · sin ( ω · t – 2 · π · f · x / λ ) = y_max · sin ( ω · ( t – x / λ ) )

Gruß, H.

Kommentar von roromoloko ,

Habe die Formel auch so gelesen:

y(x,t) = y_max · sin ( (2 · π · f · x / λ) - ω · t ) 

Ist die auch richtig..? Hab noch me frage weil im buch wird noch ein phasenwinkel phi dazuaddiert aber beschreibt nicht ω · t schon eine Verschiebung?

Kommentar von Halswirbelstrom ,

Die Wellengleichung beschreibt die lineare harmonische Welle
als einen physikalischen Vorgang, der mit einer sich örtlich und zeitlich periodisch ändernden physikalischen Größe, z.B. der Auslenkung gekoppelter schwingfähiger Teilchen einer Seilwelle, beschrieben wird. Unter diesem Aspekt kann die Wellengleichung einzeln die örtliche bzw. die zeitliche Abhängigkeit der Auslenkung y beschreiben.

Für  t = konst. gilt:   y = f(x) = y_max · sin ( ω · ( t – x / λ ) )   

Der Graph dieser Funktion f ist quasi die Momentaufnahme der Elongationen aller Teilchen der linearen harmonischen Welle zu einem bestimmten Zeitpunkt t.

Für  x = konst. gilt:   y = g(t) = y_max · sin ( ω · ( t – x / λ ) )

Der Graph dieser Funktion g stellt die Elongation eines Teilchens der Seilwelle an einem bestimmten Ort x in zeitlicher Abhängigkeit dar.

Der Term  t - x / λ  ist ist die Zeitdifferenz mit der sich eine bestimmte Schwingungsphase vom Ort  x = 0  bis zum Ort  x  in positiver x-Richtung ausbreitet.

Kommentar von Halswirbelstrom ,

Berichtigung!

y(x,t) = y_max · sin ( ω · t – 2 · π · f · x / c) = y_max · sin ω · ( t – x / c )

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