Frage von Marypary2001, 28

Forme mit Hilfe der Quadratischen Ergänzung um?

Hallo ich muss grade meine Hausaufgaben machen bei dem Thema verstehe ich nur Bahnhof . Kann mir jemand helfen ? Es versuchen zu erklären oder kennt ihr eine gute Webseite wo das verständlich erklärt wird ? Danke im Vorraus

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 10

Hallo,

meinst Du die quadratische Ergänzung?

Sie hilft Dir, eine Funktion der Art ax²+bx+c so umzuformen, daß der Scheitelpunkt direkt ablesbar ist. Der Trick besteht darin, so etwas wie 3x²+5x-2 so zu erweitern, daß sich ein Binom ergibt, also etwas wie
x²+2bx+b², das in (x+b)² umgewandelt werden kann.

Wenn Du aus (3x²+5x)-2 den Faktor vor dem x², nämlich die 3, ausklammerst, bekommst Du 3*[x²+(5/3)x]-2 (die -2 bleibt außen vor und wird erst einmal nicht benötigt. Interessant ist das x²+(5/3)x

Sie entspricht dem Anfang des Binoms x²+2xb+b²

5/3 ist das 2b

Dann ist b=5/6 und b²=25/36

Wenn Du also zu x²+(5/3)x 25/36 addierst, hast Du ein astreines Binom, das Du in (x+5/6)² umwandeln kannst.

So kommst Du auf 3*(x+5/6)²-2, das sich von der ursprünglichen Funktion dadurch unterscheidet, daß innerhalb der Klammer 25/36 addiert wurde:

3*[x²+(5/3)x+25/36]-2

Natürlich mußt Du das, was Du addiert hast, wieder abziehen, damit die Funktion nicht verändert wird:

3*[x²+(5/3)x+25/36-25/36]-2

Die ersten drei Glieder in der Klammer wandelst Du gemäß der ersten binomischen Formel um:

3*[(x+5/6)²-25/36]-2

Nun kannst Du das -25/36 aus der Klammer herausholen, indem Du es mit 3 multiplizierst:

3*(x+5/6)²-25/12-2=3(x+5/6)²-49/12

Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt dann bei (-5/6|-49/12)

Also: Faktor vor dem x² aus den ersten beiden Gliedern (denen mit x) ausklammern, den Faktor, der nun vor dem x in der Klammer steht, erst halbieren, dann quadrieren und das Ganze innerhalb der Klammer addieren. Dann diese Zahl, die gerade addiert wurde, mit dem Faktor vor der Klammer multiplizieren und zu der Zahl außerhalb der Klammer addieren.

Innerhalb der Klammer ist nun ein Ausdruck, der sich nach der ersten binomischen Formel umwandeln läßt, also in (x+(b/2))²

Fertig.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Heavenlight, 9

Heyy, hast du vllt ein konkretes beispiel? Also soweit ich verstehe, gehts darum, so einen term:

1x^2 + 2x - 25 = y

Oder sowas?

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 12

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