Frage von THYHMOO, 46

Flächeninhalt eines Parallelogramms über Kreuzprodukt der Spannvektoren?

Warum ist der Flächeninhalt eines Parallelogramms ABCD gleich dem Betrag des Kreuzproduktes der Spannvektoren AB und AC?

also A = |AB x AC|

Mir ergibt sich der Zusammenhang nicht zwischen der Länge des senkrechten Vektors auf dem Parallelogramm und der Fläche von diesem Parallelogramm?

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 21

Nu ja, was ist denn das Kreuzprodukt zwischen zwei Vektoren? Wenn sie senkrecht aufeinander stehen, ist
|a×b| = |a|*|b|.
Sind sie es nicht, ist z. B.
|a×b| = |a|*|b_{||a}|=|a_{||}b|*|b| ("||" heißt "parallel") ,
also der jeweilige senkrechte Anteil. Das ist dieselbe Formel wie "Grundseite*Höhe" beim Parallelogramm.

Antwort
von iokii, 24

Du weist vielleicht, dass die Determinante einer Matrix das Volumen des von ihren Zeilenvektoren aufgespannten Paralellogramms (bzw. Paralellotops in mehr als 2 Dimensionen). Und das Kreuzprodukt besteht ja quasi aus Determinanten, daher kommt das wohl, hat wenig mit dem Senkrechtsein zu tun.

Antwort
von McToska, 26

selbst hier in der uni haben wir das immer nur anwendungstechnisch gezeigt bekommen. D.h. dann immer, dass es sich aus komplizierten Zusammenhängen aus der Formel ergibt. Kann man sich also nicht bildlich vorstellen.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 11

Das ist eins der noch mit am leichtesten erklärbaren Phänomene der Vektorrechnung. Das Kreuzprodukt ist definiert als
<a> x <b> = a b sin α

Die Höhe eines Parallelogramms ist definiert durch sin α = h/b
                                                                           h      = b * sin α
(Das ist die Höhe auf der Seite a)

Wie wir wissen, ist die Fläche eines Parallelogramms
A = a * h      
A = a * b * sin α

Wie man unschwer erkennt, ist dies genau die Definition des Kreuzprodukts.

Dass dabei vektoriell auch noch eine Orthogonale mit demselben Betrag entsteht, ist für das Parallelogramm völlig unerheblich, für andere Schlussfolgerungen umso wichtiger.
Durch geeignete Definitionen werden in der Mathematik meist mehr Zusammenhänge deutlich, als man zunächst annimmt.



 










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