Frage von Kruumbler, 61

Fläche zwischen 2 graphen / integral berechnen?

Hi leute, Könnt ihr mir vei dieser Aufgabe helfen? (Siehe Bild) Am besten vorrechnen mit Erklärungen? Hab es selber schon versucht aber nicht hin bekommen...

Danke im vorraus!

Antwort
von Roach5, 42

Die Fläche zwischen den beiden Funktionen ist:

∫|(a sin(x) - (-1/a sin(x)))|dx = |(a + 1/a)∫sin(x)dx|, beide Integrale von 0 bis Pi. Mehr musst du nicht beachten, da zwischen 0 und Pi keine weiteren Nullstellen sind. Wenn du dieses Integral ausrechnest, bekommst du einen Ausdruck, der abhängig von a ist.

Kontrollwert: |2(a + 1/a)|

Diesen Ausdruck willst du jetzt minimal werden lassen, das ist ein einfaches Extremalwertproblem, das solltest du alleine auch hinbekommen. Den Betrag bekommst du weg, wenn du einfach a positiv annimmst, da du sonst das Vorzeichen umdrehen kannst.

Kontrollwert: Minimale Fläche bei a = ±1, minimale Fläche = 4.

Falls du bei der Berechnung Probleme bekommst, sag bescheid, denn du willst bestimmt nicht alles vorgekaut bekommen.

LG

Kommentar von Kruumbler ,

Oh, wie simple.. Danke für die Hilfe :)

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 29

Hallo,

wenn Du für a eine 1 einsetzt, dann bekommst Du 1*(sin(x)-(1/1)*sin(x).

Das ist Null. Eine kleinere Fläche wirst Du wohl nicht finden.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Roach5 ,

Für a = 1 hast du (1 - (-1/1))Sin(x) = 2 Sin(x), deren Fläche ist 4, zufälligerweise ist das aber genau die minimale Fläche, wenn auch nicht Null ;)

Kommentar von Willy1729 ,

Stimmt, ich hatte ein Minus vergessen, und dann heißt der Faktor vor dem Sinus (a+1/a) .

Wenn das nach a abgeleitet wird: f(a)=1-1/a², ist leicht zu berechnen, daß die Ableitung für a=1 Null wird und die zweite Ableitung positiv. Es liegt demnach bei a=1 ein Minimum vor. Wenn aber der Faktor vor der 2 (Betrag der Fläche im geforderten Intervall) minimal wird, ist auch das Produkt minimal.

Vielen Dank für den Hinweis,

Willy

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