Frage von somichso, 49

Fläche unter Kurve berechnen?

Folgende Aufgabe ist zu lösen, ich bin völlig aufgeschmissen. (Achtung: Ohne Integral lösen, keine Formeln dürfen angewender werden!)

Geg: f(x) = x^3 Ges: Inhalt des Flächenstücks unter der Kurve zu f über dem Intervall [0,Xo].

Verwende dazu die Idee der Newtonleiter. (Newtonleiter sagt Folgendes aus: Geschwindigkeit ist die 1. Ableitung der Positionsfunktion. --> man soll also beweisen, dass die Kurvenfunktion die 1. Ableitung des Flächeninhalts unter der Kurve über dem selben Intervall ist.(oder umgekehrt?) Wie ist mir allerdings nicht klar.)

Als Annahme habe ich genommen, dass die Kurve die 1. Abl. der Fläche ist, demnach wäre A(Xo)= 1/4 x^4 , doch wie beweis ich das? Der Differenzenquotient sollte in der Beweisführung vorkommen.

Lg

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 25

Hallo,

am einfachsten beweist Du es, wenn Du zeigst, daß die Ableitung von 1/4*x^4 tatsächlich x³ ist, denn dann muß das eine eine Stammfunktion der anderen sein.

Du berechnest den Grenzwert für h gegen =für (fx+h)-f(x))/h

Also:

(1/4*(x+h)^4-1/4*x^4)/h=

(1/4*(x^4+4x³h+6x²h²+4xh³+h^4)-1/4*x^4))/h=

(1/4*(x^4+4x³h+6x²h²+4xh³+h^4-x^4))/h=

(1/4*h*(4x³+6x²h+4xh²+h³))/h=

1/4*(4x³+6x²h+4xh²+h³)

Wenn h gegen Null geht, bleibt nur noch 1/4*x³=x³ übrig.

x³ ist also die Ableitung von 1/4*x^4.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von somichso ,

danke dir! das ist mir völlig klar. Allerdings beweist das doch noch lange nicht, dass die Kurve in Wahrheit tatsächlich die Ableitung einer Fläche ist? ich kann ja auch behaupten dass 6x Äpfel die Ableitung von 3x^2 Autos sind, obwohl die Gleichung stimmt, ist das ja generell falsch

Kommentar von Willy1729 ,

Könntest Du nicht, weil Du Äpfel und Autos als Faktoren behandeln müßtest, die, weil sie mit x verbunden sind, auch in der Ableitung auftauchen. Und aus Autos können nicht auf einmal Äpfel werden.

Ich habe nur den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung benutzt, wonach eine Funktion die Ableitung ihrer Stammfunktion ist.

Wenn das nicht reicht, mußt Du mit Riemann-Summen arbeiten. Das ist mir persönlich aber zu kompliziert.

Vielleicht melden sich noch andere, die das können. Ich habe zwar eine Herleitung dafür, daß eine Funktion die Ableitung ihrer Stammfunktion ist, in meinen Büchern, die läßt sich aber mit dem Editor von GF kaum hier aufschreiben und ein Foto geht aus urheberrechtlichen Gründen nicht. 

Jedenfalls viel Erfolg beim Recherchieren.

Willy

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