Frage von Mich9696, 29

Fehlerfortpflanzung und Anwendung?

b) Prüfen Sie den Merksatz zur Multiplikation von fehlerbehafteten Grössen "Bei Multiplikation (und Division) addieren sich die relativen Fehler der Faktoren" Betrachten Sie hierzu den Fehler von e in folgender Gleichung e(m;v;U) =m v^2/ 2U Hinweis: Nur die Variablen m, v und U sind fehlerbehaftet c) Bestimmen Sie, mit Hilfe der Merksatze und der Fortpflanzung des relativen maximalenFehlers, den relativen Fehler von P. P(F,x1,x2,t) =F *(x2-x1) /t Hinweis: Alle Variablen sind fehlerbehaftet.

Bitte um Hilfe -wie muss ich vorgehen

Antwort
von LisaEinstein, 26

Musst halt die partiellen Ableitungen nach jeder einzelnen fehlerbehafteten Größe berechnen und aus der Summer deren Quadrate die Wurzel ziehen.

Ganz simpel also :-)

Stichworte : Fehlerfortpflanzungsgesetz nach Gauß

Kommentar von Mich9696 ,

Ja hab ich gemacht aber wie summiere ich das dann sinnvoll

Kommentar von Mich9696 ,

Und muss ich bei der b mit der Quotientregel ableiten ?

Kommentar von LisaEinstein ,

Oh .. man ...:-)

du leitest partiel ab , nach welcher Regel ist doch egal. Hauptsache die Regel ist korrekt die du anwendest. 

angenommen du hast einen Qotienten E aus zwei fehlerbehafteten Größen x und y Die jeweiligen Fehler seien mit deltaE, deltax und deltay benannt.

E = x/y

gegeben seien deltax und deltay gesucht ist deltaE

Partielle Ableitungen von E nach x sowie y

dE/dx = 1/y

dE/dy = - x/y^2

Nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz werden diese Ableitungen quadriert und jeweils mit den Fehlerquadraten multipliziert und aufaddiert dann Wurzel ziehen . 

Dann hast du den absoluten Fehler von E. Für den relativen Fehler von E ist noch durch E zu dividieren. Das ganze kannst du dann kürzen und du siehst dann das der in der Aufgabe genannte Merksatz nicht ganz stimmig ist. 

Ich rechne dir das mal eben vor für den relativen Fehler (hab grad etwas Zeit, mich an diesen alten Mist mal wieder zu erinnern ;-) )

E= x/y ; 

dE/dx = 1/y

dE/dy = -x/y²

absoluter Fehler von E :

deltaE = SQRT { (1/y)² * (deltax)² + (-x/y²)² * (deltay)² }

relativer Fehler von E :

deltaE /E = 1/E * SQRT { (1/y)² * (deltax)² + (-x/y²)² * (deltay)² }

deltaE /E = y/x * SQRT { (1/y)² * (deltax)² + (-x/y²)² * (deltay)² }

jetzt kann y/x quadriert und unter die  Wurzel gezogen werden,

dann alles kürzen am End bleibt folgendes stehen :

deltaE /E  = SQRT{ (deltax/x)²   + (deltay/y)² }

====================================

Das stimmt aber mit dem in der Aufgabe angegebenen Merksatz nicht überein.

Der Merksatz der in der Aufgabe genannt wird ist also falsch.

Tatsächlich addieren sich die Quadrate der Fehler der Einzelgrößen (x und y) zu einem Fehlerquadrat  der zusammengesetzten Größe E. 

Ich habs dir mal für die relativen Fehler anhand des Fehlerfortflanzungsgesetzes hergeleitet weil das die etwas schwierigere Rechnung ist. Für den Absoluten Fehler von E rechnet sich das analog, Hoffe du kannst das jetzt dann selber nachvollziehen.

LG

 

         

Kommentar von LisaEinstein ,

angenommen du hast einen Qotienten E = x/y

 

.

gegeben seien die absoluten Fehler deltax und deltay

gesucht ist der absolute Fehler deltaE bzw. der relative Fehler

. ...Fehlerfortpflanzungsgesetz

anwenden...

partielle Ableitungen von E

nach x sowie y

I) dE/dx = 1/y

II) dE/dy

= - x/y²

nun werden diese

Ableitungen quadriert und jeweils mit den Fehlerquadraten multipliziert und
aufaddiert dann Wurzel ziehen . (googel Stichwort
Fehlerfortpflanzungsgesetz)  Nun hast du
den absoluten Fehler von E. Für den relativen Fehler von E ist noch durch E zu dividieren. Das ganze kann dann durch Kürzen vereinfacht werden. 

Ich rechne dir das mal eben

vor für (hab grad etwas Zeit, diesen alten Kram mal wieder zu erinnern )

E= x/y

dE/dx
= 1/y

dE/dy
= -x/y²

 

Hier die Quadrate aufaddieren

wie folgt :

deltaE = SQRT { (1/y)² *
(deltax)² + (-x/y²)² * (deltay)² }

oder

relativern Fehler von E :

deltaE/E = 1/E * SQRT { (1/y)² * (deltax)² + (-x/y²)² * (deltay)² }

deltaE/E = y/x * SQRT { (1/y)² * (deltax)² + (-x/y²)² * (deltay)² }

dann alles kürzen am End

bleibt folgendes stehen :

deltaE

/E  = SQRT{ (deltax/x)²   + (deltay/y)² }

==>

(deltaE/E)²= (deltax/x)²   + (deltay/y)²

============================

==>

Merksatz : Es  addieren sich die Quadrate der Fehler der
Einzelgrößen zu einem Fehlerquadrat der zusammengesetzten Größe. 

LG

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