Frage von astalavistab, 42

Fehler in der Gravitations-Berechnung?

Bekanntlich ist die Gravitationskraft in einer Hohlkugel 0. Die fehlende Anziehung ist für mich intuitiv schwer vorstellbar und so habe ich versucht, selbst darauf zu kommen, durch die simple Formel 1/r2. Habe die Threads hierzu bereits durchgelesen doch ich finde meinen Denkfehler nicht.

Mein Ansatz ist Folgender:

Jeden kugelförmigen Körper kann man sich als Punktkörper vorstellen, auf sein Zentrum reduziert, wobei dann die Formel 1/r2 gilt, um die Abnahme der Gravitation zu berechnen. Nun besteht ja die Kugelschale einer Hohlkugel auch aus winzig kleinen Atomen also theoretisch aus extrem vielen kleinen Kugeln, die alle ein Gravitationsfeld besitzen, dass mit 1/r2 abnimmt. Daraus müsste man doch auch die Gravitation im Kugelinneren ableiten können, da sie sich ja daraus zusammensetzt. Nun könnte man diese "Kugeln" theoretisch ja auch vergrößern, ohne dass sich etwas grundlegend ändert, solange sie möglichst genau auf einer Kugelbahn bleiben.

So nahm ich den Zirkel in die Hand und zeichnete 8 gleich große Kugeln, deren Mittelpunkt sich auf einer Kreisbahn befindet. Sie sind gleichmäßig angeordnet. Im Inneren dieses "Kugelringes" befindet sich nichts außer einem kleinen Körper M, der zwischen Schale und Mittelpunkt liegt. Dichte von allen Objekten ist gleich und gleichmäßig verteilt. Nun habe ich mit 1/r2 die Gravitationskraft, die diese Kugeln auf M ausüben, berechnet und als Vektoren aufgezeichnet. Die Vektoren wiederum habe ich alle zu einem addiert, der dann leider NICHT 0 war sond wie intuitiv erwartet den Körper M nach Außen zur Kugelschale zieht.

Das ganze habe ich dann neugierhalber mit der Formel 1/r wiederholt und siehe da, der Gesamtvektor ergibt, wie es sein sollte 0!

Tja, leider habe ich aber mit 8 Kugeln gearbeitet, wo man 1/r2 anwenden müsste und nicht einfach mit einer (aus unendlich vielen Einzelpunkten bestehenden) Schale. Warum komme ich damit also nicht zum richtigen Ergebnis?

Ich weiß natürlich, dass man das normalerweise anders berechnet, doch obige Herangehensweise würde mir zu einem besseren Verständnis verhelfen, wenn denn nicht immer das falsche herauskäme. ;P

Expertenantwort
von TomRichter, Community-Experte für Physik, 8

> Das ganze habe ich dann neugierhalber mit der Formel 1/r wiederholt und siehe da, der Gesamtvektor ergibt, wie es sein sollte 0!

So sollte das auch sein in einer zweidimensionalen Welt - da nimmt die Feldstärke mit 1/r ab und nicht mit 1/r².

Deine 8 Kugeln liegen alle in einer Ebene, in Deiner Konstruktion fehlen die Anziehungskräfte, die Deinen Probekörper nach "schräg oberhalb" und "schräg unterhalb" der Zeichenebene ziehen.

Um mit 1/r² arbeiten zu können, brauchst Du eine dreidimensionale Anordnung der Masse-Kugeln. Gleichmäßig verteilt, und halbwegs leicht zu rechnen wäre es, wenn Du die Kugeln in den Ecken eines Ikosaeders oder Dodekaeders unterbringst.

Antwort
von DieMilly, 8

Schau dir dieses Bild an: http://2.bp.blogspot.com/-n_y8FhtuKuc/UA-tLWZF3eI/AAAAAAAABv8/ZQZ6WeD6m8E/s1600/...

Wenn du irgendwo in der Hohlkugel bist, z.B. an dem eingezeichneten Punkt, dann kannst du ein derartiges Kreuz durch den Punkt ziehen und erhältst zwei Kegel, deren Boden je eine Kugelhaube ist. Die Masse der Kugelhaube rechts ist groß, aber weit weg. Die Masse der Kugelhaube links ist nah, aber dafür kleiner, weil der Ausschnitt kleiner ist. Die Gravitation dieser beiden Seiten hebt sich genau auf. Da du dies an allen Positionen und jedem Kreuz machen kannst, ist die Gesamtgravitation überall in der Hohlkugel gleich null. Die Gravitation der entfernten Seite der Kugel hebt die Gravitation der Nahen Seite immer auf.

Antwort
von rumar, 14

"Jeden kugelförmigen Körper kann man sich als Punktkörper vorstellen, auf sein Zentrum reduziert, wobei dann die Formel 1/r2 gilt, um die Abnahme der Gravitation zu berechnen. ..." 

Ich denke, dass du schon hier ein Wissen benützt, das du nicht selber erarbeitet hast.

"So nahm ich den Zirkel in die Hand und zeichnete 8 gleich große Kugeln, deren Mittelpunkt sich auf einer Kreisbahn befindet. Sie sind gleichmäßig angeordnet. Im Inneren dieses "Kugelringes" befindet sich nichts außer einem kleinen Körper M, der zwischen Schale und Mittelpunkt liegt. Dichte von allen Objekten ist gleich und gleichmäßig verteilt. Nun habe ich mit 1/r2 die Gravitationskraft, die diese Kugeln auf M ausüben, berechnet und als Vektoren aufgezeichnet. Die Vektoren wiederum habe ich alle zu einem addiert, der dann leider NICHT 0 war sond wie intuitiv erwartet den Körper M nach Außen zur Kugelschale zieht."

Falls du wirklich Kugeln meinst, dann solltest du diese nicht auf einem "Ring", sondern auf einer Kugelschale verteilen (je ein Kugelmittelpunkt in jedem Eckpunkt eines gedachten Würfels).  Dass du dann bei diesen nur 8 Gravitationszentren ein ziemlich inhomogenes Gravitationsfeld erhältst, ist überhaupt nicht erstaunlich.

Für eine korrekte Untersuchung braucht man Integralrechnung oder wenigstens gewisse Ideen, die nahe an der Grundlage der Integralrechnung liegen.

 

Antwort
von NeoExacun, 22

Probiers mal mit mehr als 8 Punkten und schau, ob du auf das identische Ergebnis kommst.

Antwort
von grtgrt, 17

Dass die Gravitationskraft überall in in einer Hohlkugel Null sei, ist falsch.

Sie ist nur Null direkt im Mittelpunkt der Kugel. 

Das wiederum liegt daran, dass jedes Atom im massiven Teil der Kugel zwar Anziehungskraft auf einen Körper im Mittelpunkt der Kugel ausübt, aber dem Atom genau gegenüber ein anderes Atom der Kugel ebenso stark in genau die entgegengesetzte Richtung zieht. Beide Kräfte heben sich auf.

Kommentar von rumar ,

Natürlich nehmen wir bei dieser Idealisierung an, dass ausser der homogen auf der Kugeloberfläche verteilten Masse keine weiteren Massen (z.B. die der Erde, auf welcher ein solches Experiment ausgeführt werden könnte) eine gravitative Rolle spielen soll - oder: man soll solche äußeren Einflüsse herausrechnen.

Tatsächlich kann man aber nachrechnen (durch Integrieren der zwischen Testmasse und Kugelschale wirkenden Gravitationskräfte) zeigen, dass sich die von der Kugelschale auf die (im Inneren der Kugel befindliche) punktförmige Testmasse immer gegenseitig aufheben. Wenn man zunächst gewisse einfache Symmetrieüberlegungen ausnützt, kommt man auf ein nicht so schwer zu berechnendes Integral, das tatsächlich immer Null ergibt, solange die Testmasse im Inneren der Kugel bleibt. 

Kommentar von DieMilly ,

Das stimmt nicht. Was du sagst gilt in einer vollen Kugel. In einer Hohlkugel ist die Gravitation überall im Hohlraum gleich Null.

Kommentar von grtgrt ,

Wie beweist man das (Quelle?).

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