Frage von gumpo03, 38

Fehler bei vollständiger Induktion?

Ich habe eine Formel als Bild angehängt. Für diese soll ich eine vollständige Induktion durchführen. Ich habe das schon versucht scheitere aber an irgendeinem Felher den ich ständig mache und den ich noch nicht so wirklich durchblicke. Es würde mir sicher sehr helfen wenn mir jemand diese Induktion vorrechnen könnte so dass ich mir daraus erschließen kann was ich falsch gemacht habe. Am besten mit jedem Schritt erklärt.

Vielen Dank :)

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 5

Hallo,

zunächst beweist Du, daß die Gleichung für k=1 stimmt:

1/[1*(1+1)]=1-1/(1+1)

1/2=1-1/2=1/2 Der Induktionsanfang ist bewiesen.

Nun mußt Du beweisen, daß dies auch für alle folgenden Glieder stimmt, indem Du die Formel allgemein für k+1 nachweist.

Σ1/[k*(k+1)] ist laut Behauptung gleich 1-1/(k+1)

Addierst Du das nächste Folgenglied dazu, wäre dies, da laut Behauptung die Summe von

1/[k*(k+1)]=1-1(k+1) ist, 1-1/(k+1)+1/[(k+1)*(k+2)].

Wenn die Behauptung stimmt, muß dasselbe herauskommen, wenn Du k+1 gleich anstelle von k in die Summenformel eingibst: 1-1/(k+1+1)

Es ist also zu beweisen, daß

1-1/(k+1)+1/[(k+1)*(k+2)]=1-1/(k+2)

Da auf beiden Seiten die 1 als Summand auftaucht, kannst Du die schon mal streichen:

-1/(k+1)+1/[(k+1)*(k+2)]=-1/(k+2)

1/[(k+1)*(k+2)]=1/(k+1)-1/(k+2)

Die rechte Seite bringst Du auf den Hauptnenner (k+1)*(k+2)

1/[(k+1)*(k+2)]=[(k+2)-(k+1)]/[(k+1)*(k+2)]=1/[(k+1)*(k+2)]

Fertig.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von kreisfoermig, 18

Wozu brauchst du Induktion? Beweis es doch direkt! Zunächst formt man die Summanden um:

1/(k·(k+1)) = 1/k – 1/(k+1) für alle k∈ℕ⁺

Also gilt

∑ 1/(k·(k+1)) = ∑ 1/k – 1/(k+1)  Summe von k=1 bis n
= ∑ 1/k Summe von k=1 bis n
– ∑ 1/(k+1) Summe von k=1 bis n
= ∑ 1/k Summe von k=1 bis n
– ∑ 1/k Summe von k=2 bis n+1
= 1 + ∑ 1/k Summe von k=2 bis n
– ∑ 1/k Summe von k=2 bis n
– 1/(n+1)
= 1 – 1/(n+1)

für alle n≥1. QED.

Kommentar von kreisfoermig ,

Wenn du dringen das Bedürfnis hast, den stumpfen Hammer der Induktion zu verwenden, dann:

lA. Für n=1 gilt

∑ 1/(k·(k+1)) Summe von k=1 bis n
= 1/(1·2)
= 1/1 – 1/2 (siehe oben)
= 1/1 – 1/(n+1).

Darum gilt die Gleichung für n=1.

lS. Sei n∈ℕ⁺. Angenommen, die Gleichung gelte für n. Dann gilt

∑ 1/(k·(k+1)) Summe von k=1 bis n+1
= ∑ 1/(k·(k+1)) Summe von k=1 bis n
+ 1/((n+1)(n+2))
= 1–1/(n+1) per Induktion
+ 1/(n+1)–1/(n+2) siehe oben
= 1–1/(n+2).

Also gilt die Gleichung für n+1.

Per Induktion gilt die Gleichung für alle n∈ℕ⁺.                         QED.

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