Frage von roromoloko, 82

Federkonstante berechnen - Was mache ich falsch?

Meine Frage: Ich habe folgendes Problem, bei dem ich nicht weiter komme, hoffe mir kann geholfen werden:

Ein ungedämpfter Federschwinger mit einer Masse von 3Kg und einer Schwingungsdauer von 2s ist zum Zeitpunkt t=0 um 4 cm aus der Ruhelage ausgelenkt und wird dann losgelassen.

a) Berechnen sie die Federkonstante und die Gesamtenergie

b) Berechnen Sie die potenzielle Energie und die kinetische Energie zum Zeitpunkt t=T/6

Also D = F/x

F - Kraftänderung (fehlt ein delta)

x - Längenänderung

D = (m * g) / x

= 3kg * 9,81 m/^2 / 4*10^-2 = 735,75 N/m

Wenn ich es aber mit einer anderen Formel zur Periodendauer berechne komme ich auf 29,6 N/m

T = 2 * pi * ((wurzel)m *D)

Bei der D ist E_ges = 0,5 * D * s^2

s wäre dann 4* 10^-2 m

Hab aber noch eine Frage, denn für Epot gilt :

E_pot = E_ges * sin^2(w *t)

Wenn t=0 eingesetzt wird, steht dort null..

Und E_pot müsste doch bei der max. Auslenkung ebenfalls maximal sein?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von fjf100, 27

Schwingungsdauer des Federpendels T= 2 *pi * Wurzel (m/D)

T^2/(4 *pi^2) = m/D ergibt D= m*4 *pi^2/T^2 =3*4*pi^2/ 4=29,608 N/m

Federenergie Wf= 1/2 * D * s^2= 1/2 *29,608 * 0,04^2= 0,02368 Nm =J

Dgl (Differentialgleichung der freien ungedämpften Schwingung

S´´+ Wo^2 * S =0

allgemeine Lösung ist y(t)=f(x)= C1 * sin(w *t) + C2 * cos(w*t)

Hier fällt C1 *sin(w *t) weg ,weil man hier Das "Bezugssystem" ,x-y-Koordinatensystem in der maximalen Auslenkung gelegt hat.

legt man das "Bezugssystem in den Ruhepunkt,dann ist die Lösung

y(t)=f(t)= a * sin(w *t)

t=0 maximale Auslenkrung  a= 4 cm= 0,04 m

also ist hier die Lösung y(t)=f(t)= a *cos(w * t)

mit w= 2 *pi/T=pi

Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Weges nach der Zeit t

abgeleitet  v=f´(t)= w * a * - sin(w * t) Werte eingesetzt t=T/6= 2/6

v= pi * 0,04 * - sin( pi * 2/6)= -  0,1088 m/s

Das Minuszeichen gibt die Richtung an ( wechselt immer bei einer Schwingung von "plus" nach "minus" und umgekehrt)

Kinetische Energie der Masse Ekin= 1/2 * m * v^2=

 0,5 *3*0,1088^2=0,0177 Nm (Joule)

prüfe auf Rechen-u. Tippfehler !

 

Kommentar von roromoloko ,

Dankeschön! :)

Kommentar von roromoloko ,

Kannst du mir diese Zeilen nochmal erklären?

S´´+ Wo^2 * S =0

allgemeine Lösung ist y(t)=f(x)= C1 * sin(w *t) + C2 * cos(w*t)

Kommentar von roromoloko ,

ich kenne für die potenzielle Energie nur folgende Formeln:

E_pot = 0,5* D * y^2

E_pot = 0,5* D * y_max^2 * sin^2(w *t)

E_pot = E_ges * sin^2 ( w*t)

Mit den Formeln kommt man aber auf ein anderes Ergebnis :/

Kommentar von fjf100 ,

Formel "potentielle Energie" (Lageenergie) ist Epot= m *g *h

Efeder = 0,5 * D * s^2 Deine Formel ist nicht die der "potentielle Energie !

HINWEIS : Für die "Potentielle Energie " Epot = m *g *h muss man eine Bezugsebene festlegen. Diese "Bezugsebene" kann frei gewählt werden. Im Normalfall wählt man diese so, dass für

Epot nur positive Werte herauskommen.

Beispiel : Bergbau . Es werden 1000 Kg Kohle aus 500 m Tiefe gefördert. 

Zweckmäßig legt man die "Bezugsebene" auf die Sohle des Bergwerks in 500 m Tiefe.So hat man nur positive Werte für Epot

Also gilt :

 Epot = m *g *h = 1000 Kg * 9,81 m/s^2 *500m=4905000 Nm (Joule)= 4905 KJ

Kommentar von fjf100 ,

S´´+ Wo^2 * S=0  Diese Dgl gilt immer bei der "Freien ungedämpften Schwingung"

umgestellt ergibt sich S´´=  W0^2 *- S

S´´ ist die 2.te Ableitung des Weges S nach der Zeit t

Hier steht,dass die 2.te Ableitung ein Minuszeichen vor S(t) hat

Diese Eigenschaften haben nur die Funktionen

y1= S(t)=a * sin(w *t) und

y2= S(t)a * cos( w *t)

2 mal abgeleitet ergeben die Funktionen

y1´´= w^2 * - sin(w *t) 

y2´´= w^2 - cos(w*t)

eingesetzt in die Dgl ,sieht man dass diese Formeln die Dgl erfüllen

Es gilt y= y1 +y2 dies nennt man eine "Linearkombination" in der Mathematik.

Die Addition von 2 Lösungen ergibt wieder eine Lösung.

also ergibt sich y= y1 +y2= a1 *sin(w*t) + a2 * cos(w*t)

als allgemeine Lösung schreibt man dann

y= f(x) = c1 * sin(w*t) + C2 * cos(w*t)

Diese Formel gilt immer,wenn es sich um eine "freie ungedämpfte Schwingung" geht.

Je nach den Rahmenbedingungen fällt dann y2=a2 *cos(w*t)

weg oder y1=a1 *sin(w*t)

legt man das x-y-Koordinatensystem in den Ruhepunkt des Schwingers ( Ursprung deckt sich mit den Massenschwerpunkt der Masse m),so fällt  aufgrund dieser Bedingung 

y2= a2 * cos( w *t) weg.

Legt man das Koordinatensystem im maximalen Ausschlag,so fällt y1= a1 *sin(w *t) weg.

In der Elektrotechnik kann auch die Lösung sein

y= C1 * sin(w*t) + C2 * cos(w*t) dies ist dann eine "konjugiert komplexe Lösung"

siehe mathe-Formelbuch " Komplexe Zahlen"

Kommentar von roromoloko ,

Hab noch ne Frage... :D

Also zum letzten Term:

v= pi * 0,04 * - sin( pi * 2/6)= -  0,1088 m/s

Hab da nämlich -2,29*10^-3 raus und dadurch auch ein anderes Endergebnis

Kommentar von fjf100 ,

Weil die Auslenkung zum Zeitpunkt t=0 4cm=0,04 m ist

ist die Wegzeit-Funktion y(t)=f(t)= a *cos(w * t)

abgeleitet y´(t)=f´(t)= w * a * - sin(w*t)

mit w=2*pi/T=2 * pi/2= 3,14.. rad /s

f´(t)=v= 3,14 * 0,04 m * - sin(pi * T/4)= 3,14 *0,04 m *- sin(pi*0,5)

=0,1256 m /s ist die maximale Geschwindigkeit

Rechner auf rad einstellen.

T/4=0,5 s man kann die Periode in 4 Teile aufteilen

t=0 maximale Auslenkung 0,4m und v=0

t=0,5 Pendel befindet sich in der Mitte der Aussschläge ,hier erreicht v ein Maximum

t= 1 s Die unterste Stellung wird erreicht

t=1,5 s hier ist wieder die Mitte ereicht

t=2 s das Pendel befindet sich wieder am Anfang und der ganze Vorgang beginnt wieder von vorn.

Extremstellen bei t=0 t=1 s und t=2 s

Nullstellen (Mittellinie der Schwingung) bei t=o,5 und t=1,5 s

Antwort
von lks72, 46

Deine erste Methode verstehe ich nicht. Wie kommst du denn hier auf F = m * g. DIe Feder wird aus der Ruhelage (dafür ist m * g verantwortlich) ausgelenkt, und zwar 4cm nach unten, und hier müsstest du die Kraft deiner Hand auf die Feder kennen, dies ist aber nicht m * g.

Kommentar von roromoloko ,

Ich dachte das wäre die Kraft die die Feder nach unten "zieht", aber hab es eingesehen, dass es nicht die Kraft ist.. Generell ist ja die Kraft F = m*a .. Ich weiß aber nicht wie groß a sein soll

Kommentar von lks72 ,

m • a ist die resultierende Kraft und die ist hier null, nämlich Kraft der Hand auf drn Körper nach unten und Kraft der Feder auf den Körper nach oben, a ist also auch 0. Mit der Formel kommst du hier nicht weiter.

Kommentar von roromoloko ,

Bezogen auf die feder kenne ich nur die formel F = D * x .. Könntest du mir helfen?

Kommentar von lks72 ,

entweder , du löst mit F = D • x die auftretende Differentialgleichung, das hat SlowPhil ja gemacht , oder du nimmst direkt T = 2 • pi • √(m/D) und löst nach D auf. Die in F = D • s auftretende Kraft F am Anfang ist aus den Werten der Aufgabenstellung nicht zu errechnen, du kannst sie nur nachher berechnen, wenn du D schon kennst.

Antwort
von PhotonX, 44

Wie kommst du denn auf die Formel

T = 2 * pi * m *D

? Ich denke, diese Formel gibt es nicht, dein erstes Ergebnis ist also richtig, das zweite ist falsch.

Kommentar von roromoloko ,

Hab die Wurzel vergessenn .. dorrt soll stehen ((wurze) m*D)

Kommentar von PhotonX ,

Es stimmt immer noch nicht, die richtige Formel ist T=2pi*wurzel(D/m), dann sollte es hoffentlich aufgehen!

Kommentar von roromoloko ,

Ja haha, mache die ganze Zeit beim schreiben Fehler :D Ja dann kommt 29,6 Nm raus, aber mein Problem ist nicht die Formel,sondern ich weiß nicht wieso der Weg mit D = F/x falsch ist

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik & Physik, 47

Du hast die Masse des Schwingers und die Periodendauer. Dies ist bereits genug Information, um die Federkonstante berechnen zu können: Aus

F_y = m•d²y/dt² = –Dy(t)

Erhältst Du

d²y(t)/dt² = –(D/m)y(t) = –ω²y(t) = (4π²/Τ²)y(t)

<=> D/m = 4π²/Τ²

<=> D = 4π²m/T².

Wenn Du D hast, solltest Du E_pot relativ leicht ausrechnen können.

Kommentar von roromoloko ,

Ich weiß wie man auf die Formel kommt.. mit deiner Formel kommt man auch auf 29,6 .. Meine Frage war eher wieso das mit D = F/x eine falsche Lösung kommt.. :/ Und zur potenziellen Energie ist meine Frage (ich weiß dass y = 0,04m ist), aber welchen Wert müsste ich für t einsetzen? Ich dachte null aber sin(0) = 0, sodass der gesamte Term null ergibt

Kommentar von SlowPhil ,

Du hast aber nicht F, sondern T und m. Womit rechnest Du also am besten? Mit T und m. Wenn Du D hast, kannst Du

E = E_p(t=0) = ½Dy²

rechnen. Da Du erst maximal auslenkst und dann loslässt, ist y(t) eine Cosinusfunktion.

Kommentar von roromoloko ,

aber minus cosinus oder?

Kommentar von SlowPhil ,

Warum unbedingt minus Cosinus? das ist natürlich reine konversions Sache, aber du kannst doch von einer positiven Auslenkung am Anfang ausgehen, und cos(0)=1. ich habe übrigens meine Rechnung überschlagen und kann nur sagen, dass deine 29,6 N/m plausibel sind: π² ≈ 10, etwas weniger, der Faktor 4 kürzt sich mit dem Wert von T² weg. Mal 3kg ergibt etwas weniger als 30N/m. (y(t=0))² = (4×10¯²m)² = 1,6×10¯³m², und das mit knapp 30N/m multipliziert ist 4,8×10¯²J.

Kommentar von roromoloko ,

ok gut .. hatte ein Video auf youtube von simple physics angeschaut. Da haben sie es so definiert

Kommentar von roromoloko ,

Noch ne frage zu b da soll man E_kin und E_pot berechnen zum Zeitpunkt t= T/6.. Ist T=2s und t= 1/3 ?

Kommentar von roromoloko ,

Nochmal um sicher zu gehen .. Epot dann auch mit cosinus und Ekin mit sinus?

Kommentar von SlowPhil ,

y=y0•cos(ωt), einsetzen in E_p. 

dy/dt = –y0•ω•sin(ωt),  einsetzen in E_k.

Das Minuszeichen quadriert sich weg. 

Es muss ein Ausdruck

E•cos²(ωt) + E•sin²(ωt) = E

dabei herauskommen, wobei

E = ½D•y0² (y0 = 4cm)

ist .

Kommentar von roromoloko ,

Könntest du noch sagen, ob das mit t=1/3 richtig ist? :)

Und habe noch eine Frage, die ich schon hätte früher stellen sollen und zwar frage ich mich wie du auf
F_y = m•d²y/dt²  gekommen bist?

m - masse

y- Auslenkung (?)

und was ist d^2?

Soll dt^2 bedeuten, dass nach dt^2 abgeleitet wird?

Kenne die Formel nicht

Kommentar von roromoloko ,

Ich hoffe ich nerve nicht mit den zahlreichen Fragen, aber ich hab sehr viel nachholbedarf

Kommentar von SlowPhil ,

Das nervt mich nicht. Ich habe nicht immer Zeit, sofort zu antworten bzw. auf einen Kommentar zu reagieren; das heißt aber nicht, dass ich keinen Bock hätte.

Ich kläre sehr gern Wissenslücken und Missverständnisse. Dies will natürlich auch anerkannt sein…

Kommentar von SlowPhil ,

Der betrachtete Zeitpunkt ist t = T/6, und da T = 2s ist, muss folglich

t = T/6 = 1/3 s

sein, wobei das nicht so wichtig ist wie die Tatsache, dass dort

ωt = π/3 = 60°,

ist, wovon der Cosinus bekanntlich (?) ½ ist. Das ist zur Berechnung der Auslenkung eine wesentliche Info.

Der Ausdruck d²…/dt² bezeichnet die zweite Ableitung von … nach der Zeit, im Falle von d²y/dt² die Beschleunigung. Der Ausdruck dy/dt stellt die Geschwindigkeit dar. Somit ist

F = m·d²y/dt²

eine Formulierung von »Kraft = Masse·Beschleunigung«.

Kommentar von roromoloko ,

Ach ok, noch nie diese Schreibweise gesehen :D Und wie kommt man dann auf : –Dy(t)

Kommentar von SlowPhil ,

Die Schreibweise dy(t)/dt lässt sich von

Δy(t)/Δt = (y(t₂) – y(t₁))/(t₂ – t₁)

herleiten. Wenn man aus der endlichen Zeitspanne Δt die infinitesimale (aber von 0 verschiedene) respektive sehr kleine Zeitspanne dt macht, wird auch aus Δy(t) eine infinitesimale oder sehr kleine Auslenkungsdifferenz dy(t).

Die Zweite Ableitung ist eben die Ableitung der Ableitung

d(dy(t)/dt)/dt = d²y(t)/dt².

Und wie kommt man dann auf : –Dy(t)

F(t) = –Dy(t)

ist einfach die Rückstellkraft. Die Gleichung drückt aus, dass diese zur Auslenkung proportional ist und ihr entgegenwirkt (das sagt das Minuszeichen aus).

Kommentar von roromoloko ,

DANKE, diese ganzen Sachen kamen erst 3 Kapitel weiter :D Habs jetzt verstanden :)

Kommentar von roromoloko ,

Und zu dem was du gesagt hast:

Ich habe nicht immer Zeit, sofort zu antworten bzw. auf einen Kommentar
zu reagieren; das heißt aber nicht, dass ich keinen Bock hätte.

Das meinte ich gar nicht, aber wenn ich so viel frage, komme ich mir echt blöd vor, weil ich es nicht sehr schnell verstehe :/

Kommentar von SlowPhil ,

Ich verstehe etwas auch nicht immer besonders schnell, deshalb heiße ich auch SlowPhil. ;)

Kommentar von roromoloko ,

Ich rechne gerade nochmal die Aufgabe und hab mal wieder eine Frage und zwar zu dem Term:

E = ½D•y0² (y0 = 4cm)

Also habe dort 0,0236 raus.

Wenn ich jetzt die potenzielle Energie zum Zeitpunkt T/6 berrechne habe ich aber die gleiche Zahl raus.. Ist das richtig?

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community